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Versuche

Fadenpendel (Simulation)

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Die Simulation ermöglicht die Untersuchung der Abhängigkeit der Schwingungsdauer eines Fadenpendels von den relevanten Parametern.
Aufbau und Durchführung
Anfangsauslenkung
x0
Masse
m
Fadenlänge
l
Ortsfaktor
g
HTML5-Canvas nicht unterstützt!
Abb. 1 Einflusses der verschiedenen Parameter auf die Schwingungsdauer des Fadenpendels

Die Simulation in Abb. 1 zeigt den prinzipiellen Aufbau, die Durchführung und die Beobachtung des Versuchs zur Untersuchung der Abhängigkeit der Schwingungsdauer \(T\) eines Fadenpendels von den relevanten Parametern.

Mit den Schiebereglern kannst du die Anfangsauslenkung \(x_0\), die Masse \(m\) des Pendelkörpers, die Fadenlänge \(l\) und den Ortsfaktor \(g\) in bestimmten Grenzen verändern und so deren Einfluss auf die Schwingungsdauer \(T\) beobachten. Wenn du die Checkbox "Schwingungsdauer" anwählst, so wird nach einer Schwingung die Schwingungsdauer \(T\) eingeblendet.

Die Simulation macht folgende vereinfachende Annahmen:

  • Die Bewegung des Pendelkörpers und des Fadens verläuft reibungsfrei.

  • Die Masse des Fadens wird vernachlässigt.

  • Der Pendelkörper wird nur ein kleines Stück ausgelenkt.

Die folgenden Aufgaben führen dich systematisch durch die Untersuchung der Abhängigkeit der Schwingungsdauer \(T\) eines Fadenpendels von den relevanten Parametern.

1. Teilversuch: Untersuchung der Abhängigkeit der Schwingungsdauer \(T\) von der Anfangsauslenkung \(x_0\)

Im ersten Teilversuch verändern wir die Anfangsauslenkung \(x_0\) und beobachten die Schwingungsdauer \(T\).

Beobachtung
Aufgabe

Wähle für die Masse \(m\) des Pendelkörpers, die Fadenlänge \(l\) und den Ortsfaktor \(g\) beliebige Werte, verändere die Anfangsauslenkung \(x_0\) und beobachte die Schwingungsdauer \(T\).

Formuliere deine Beobachtung.

Lösung

Die Schwingungsdauer \(T\) hat - unabhängig von den Werten der anderen Parameter - für alle Werte der Anfangsauslenkung \(x_0\) den gleichen Wert. Daraus kann man schließen, dass die Schwingungsdauer \(T\) unabhängig von der Anfangsauslenkung \(x_0\) ist.

2. Teilversuch: Untersuchung der Abhängigkeit der Schwingungsdauer \(T\) von der Masse \(m\)

Im zweien Teilversuch verändern wir die Masse \(m\) und beobachten die Schwingungsdauer \(T\).

Beobachtung
Aufgabe

Wähle für die Anfangsauslenkung \(x_0\), die Fadenlänge \(l\) und den Ortsfaktor \(g\) beliebige Werte, verändere die Masse \(m\) des Pendelkörpers und beobachte die Schwingungsdauer \(T\).

Formuliere deine Beobachtung.

Lösung

Die Schwingungsdauer \(T\) hat - unabhängig von den Werten der anderen Parameter - für alle Werte der Masse \(m\) den gleichen Wert. Daraus kann man schließen, dass die Schwingungsdauer \(T\) unabhängig von der Masse \(m\) des Pendelkörpers ist.

3. Teilversuch: Untersuchung der Abhängigkeit der Schwingungsdauer \(T\) von der Fadenlänge \(l\)

Im dritten Teilversuch halten wir die Anfangsauslenkung \(x_0\), die Masse \(m\) und den Ortsfaktor \(g\) konstant, verändern die Fadenlänge \(l\) und beobachten die Schwingungsdauer \(T\).

Beobachtung
Aufgabe

Halte die Anfangsauslenkung auf dem Wert \(x_0=0{,}300\,\rm{m}\), die Masse auf dem Wert \(m=0{,}500\,\rm{kg}\) und den Ortsfaktor auf dem Wert \(g = 9{,}81\,\frac{\rm{N}}{\rm{kg}}\) konstant.

Vervollständige mit Hilfe der Simulation die folgende Wertetabelle.

Tab. 3a Wertetabelle ohne Messwerte
\(l\) in \(\rm{m}\) \(2{,}00\) \(3{,}00\) \(4{,}00\) \(5{,}00\) \(6{,}00\) \(7{,}00\) \(8{,}00\)
\(T\) in \(\rm{s}\)              

Lösung

Tab. 3b Wertetabelle mit Messwerten
\(l\) in \(\rm{m}\) \(2{,}00\) \(3{,}00\) \(4{,}00\) \(5{,}00\) \(6{,}00\) \(7{,}00\) \(8{,}00\)
\(T\) in \(\rm{s}\) \(2{,}84\) \(3{,}47\) \(4{,}01\) \(4{,}49\) \(4{,}91\) \(5{,}31\) \(5{,}67\)
Auswertung
Aufgabe

Stelle die Messwerte in einem \(l\)-\(T\)-Diagramm dar.

Werte das Diagram aus.

Lösung

Joachim Herz Stiftung
Abb. 2 Darstellung der Messwerte in einem \(l\)-\(T\)-Diagramm. Zusätzlich eingezeichnet sind die Ausgleichskurve und eine mögliche Darstellungen des Ergebnisses der Potenz-Regression

Das Diagramm in Abb. 2 zeigt, dass die Messwerte scheinbar auf einer um \(90^\circ\) gedrehten Parabel liegen. Es könnte sich also um eine Funktion vom Typ \(y=a \cdot x^b\) mit \(b>0\) handeln. Die zugehörige Funktionsgleichung erhältst du in diesem Fall z.B. mit einem grafikfähigen Taschenrechner oder einer Tabellenkalkulation durch eine sogenannte Potenz-Regression.

Die Ausgleichskurve und eine mögliche Darstellungen des Ergebnisses der Potenz-Regression in unserem Beispiel sind in Abb. 2 bereits eingezeichnet. Die Software gibt den gesuchten Term für unser Beispiel in der Form (auf drei gültige Ziffern gerundet) \(y=2{,}01 \cdot x^{0{,}500}\) aus. Beachten wir, dass der Exponent \(0{,}500=\frac{1}{2}\) lautet, so lässt sich das Ergebnis auch als \(y=2{,}01 \cdot \sqrt{x\,}\) schreiben.

Dies zeigt, dass bei konstantem Ortsfaktor \(g\) die Schwingungsdauer \(T\) proportional zu \(\sqrt{l\,}\) ist:\[T \sim \sqrt{l\,}\]

4. Teilversuch: Untersuchung der Abhängigkeit der Schwingungsdauer \(T\) vom Ortsfaktor \(g\)

Im vierten Teilversuch halten wir die Anfangsauslenkung \(x_0\), die Masse \(m\) und die Fadenlänge \(l\) konstant, verändern den Ortsfaktor \(g\) und beobachten die Schwingungsdauer \(T\).

Beobachtung
Aufgabe

Halte die Anfangsauslenkung auf dem Wert \(x_0=0{,}300\,\rm{m}\), die Masse auf dem Wert \(m=0{,}500\,\rm{kg}\) und die Fadenlänge auf dem Wert \(l = 3{,}976\,\rm{m}\) konstant.

Vervollständige mit Hilfe der Simulation die folgende Wertetabelle.

Tab. 4a Wertetabelle ohne Messwerte
\(g\) in \(\frac{\rm{N}}{\rm{kg}}\) \(7{,}00\) \(8{,}00\) \(9{,}00\) \(10{,}00\) \(11{,}00\) \(12{,}00\) \(13{,}00\)
\(T\) in \(\rm{s}\)              

Lösung

Tab. 4b Wertetabelle mit Messwerten
\(g\) in \(\frac{\rm{N}}{\rm{kg}}\) \(7{,}00\) \(8{,}00\) \(9{,}00\) \(10{,}00\) \(11{,}00\) \(12{,}00\) \(13{,}00\)
\(T\) in \(\rm{s}\) \(4{,}74\) \(4{,}43\) \(4{,}18\) \(3{,}96\) \(3{,}78\) \(3{,}62\) \(3{,}47\)
Auswertung
Aufgabe

Stelle die Messwerte in einem \(g\)-\(T\)-Diagramm dar.

Werte das Diagram aus.

Lösung

Joachim Herz Stiftung
Abb. 3 Darstellung der Messwerte in einem \(g\)-\(T\)-Diagramm. Zusätzlich eingezeichnet sind die Ausgleichskurve und eine mögliche Darstellungen des Ergebnisses der Potenz-Regression

Das Diagramm in Abb. 3 zeigt, dass die Messwerte scheinbar auf einer Hyperbel liegen. Es könnte sich also um eine Funktion vom Typ \(y=a \cdot x^b\) mit \(b<0\) handeln. Die zugehörige Funktionsgleichung erhältst du in diesem Fall z.B. mit einem grafikfähigen Taschenrechner oder einer Tabellenkalkulation durch eine sogenannte Potenz-Regression.

Die Ausgleichskurve und eine mögliche Darstellungen des Ergebnisses der Potenz-Regression in unserem Beispiel sind in Abb. 3 bereits eingezeichnet. Die Software gibt den gesuchten Term für unser Beispiel in der Form (auf drei gültige Ziffern gerundet) \(y=12{,}5 \cdot x^{-0{,}500}\) aus. Beachten wir, dass der Exponent \(-0{,}500=-\frac{1}{2}\) lautet, so lässt sich das Ergebnis auch als \(y=12{,}5 \cdot \frac{1}{\sqrt{x\,}}\) schreiben.

Dies zeigt, dass bei konstanter Fadenlänge \(l\) die Schwingungsdauer \(T\) proportional zu \(\frac{1}{\sqrt{g\,}}\) ist:\[T \sim \frac{1}{\sqrt{g\,}}\]

Zusammenfassung der Ergebnisse der letzten beiden Teilversuche

  • Aus dem 3. Teilversuch ergibt sich \(T \sim \sqrt{l\,}\) bei konstantem \(g\).
  • Aus dem 4. Teilversuch ergibt sich \(T \sim \frac{1}{\sqrt{g\,}}\) bei konstantem \(l\).

Zusammengefasst ergibt sich\[T \sim \sqrt{l\,} \cdot \frac{1}{\sqrt{g\,}} = \frac{\sqrt{l\,}}{\sqrt{g\,}} = \sqrt{\frac{l}{g}} \; {\rm{oder}} \; T= k \cdot \sqrt{\frac{l}{g}}\]

Auswertung
Aufgabe

Bestimme aus den bisherigen Messwerten den Wert des Proportionalitätsfaktors \(k\).

Lösung

Aus dem bisherigen Ergebnis \(T = k \cdot \sqrt{\frac{l}{g}}\) schließen wir, wie wir den Faktor \(k\) bestimmen können: Wir tragen \(T\) gegen \(\sqrt{\frac{l}{g}}\) in einem Diagramm auf und bestimmen durch Lineare Regression den Steigungsfaktor der Geraden.

Tab. 5 Werte
\(l\) in \(\rm{m}\) \(2{,}00\) \(5{,}00\) \(8{,}00\) \(3{,}976\) \(3{,}976\) \(3{,}976\)
\(g\) in \(\frac{\rm{N}}{\rm{kg}}\) \(9{,}81\) \(9{,}81\) \(9{,}81\) \(7{,}00\) \(10{,}00\) \(13{,}00\)
\(\sqrt{\frac{l}{g}}\) in \(\rm{s}\) \(0{,}452\) \(0{,}714\) \(0{,}903\) \(0{,}754\) \(0{,}631\) \(0{,}553\)
\(T\) in \(\rm{s}\) \(2{,}84\) \(4{,}49\) \(5{,}67\) \(4{,}74\) \(3{,}96\) \(3{,}47\)
Joachim Herz Stiftung
Abb. 4 Darstellung der Werte in einem \(\sqrt{\frac{l}{g}}\)-\(T\)-Diagramm. Zusätzlich eingezeichnet sind die Ausgleichsgerade und eine mögliche Darstellungen des Ergebnisses der Linearen Regression

Die Ausgleichsgerade und eine mögliche Darstellungen des Ergebnisses der Linearen Regression in unserem Beispiel sind in Abb. 4 bereits eingezeichnet. Die Software gibt den gesuchten Term für unser Beispiel in der Form (auf drei gültige Ziffern gerundet) \(y=6{,}28 \cdot x\) aus.

Der Wert \(6{,}28\) für den Proportionalitätsfaktor \(k\) ist im Rahmen der Messgenauigkeit gleich dem Wert \(2 \cdot \pi = 6{,}283...\). Theoretische Überlegungen zeigen, dass der Proportionalitätsfaktor tatsächlich den Wert \(2 \cdot \pi\) hat.

Damit erhalten wir als Ergebnis\[T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{l}{g\,}}\]

Ergebnis

Die Schwingungsdauer \(T\) eines Fadenpendel ist abhängig von der Fadenlänge \(l\) und dem Ortsfaktor \(g\) und berechnet sich durch\[T = 2 \cdot \pi  \cdot \sqrt {\frac{l}{{g}}} \]Die Schwingungsdauer ist insbesondere unabhängig von der Anfangsauslenkung \(x_0\) und der Masse \(m\) des Pendelkörpers.