Mechanik

Mechanische Schwingungen

Fadenpendel für Fortgeschrittene (Smartphone-Experiment mit phyphox)

  • Wovon hängt eigentlich die Schwingungsdauer eines Pendels ab?
  • Geht eine Standuhr auf dem Mond genau?
  • Wie misst man im Weltall die Masse der Astronauten?

Fadenpendel für Fortgeschrittene (Smartphone-Experiment mit phyphox)

Das Ziel des Versuchs

Mit deinem Smartphone kannst du im Unterricht oder zu Hause den Zusammenhang \(T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt {\frac{l}{g}} \) zwischen der Schwingungsdauer \(T\), der Fadenlänge \(l\) und dem Ortsfaktor \(g\) experimentell bestätigen. Die App auf deinem Smartphone bestimmt dabei die Schwingungsdauer \(T\) bzw. die Frequenz \(f\).

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1 Aufbau und Durchführung des Versuchs zur Untersuchung der Bewegung eines Fadenpendels mit Hilfe eines Smartphones und der App phyphox

Notwendiges Vorwissen

Um dieses Experiment zum Fadenpendel verstehen zu können solltest du ...

  • ... den Zusammenhang \(T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt {\frac{l}{g}} \) zwischen der Schwingungsdauer \(T\), der Fadenlänge \(l\) und dem Ortsfaktor \(g\) kennen.
  • ... Wertetabellen bzw. Graphen zu Funktionen mit \(y = \sqrt x \) linearisieren können.

Hinweis: Informationen hierzu findest du über die Linkliste am Ende des Artikels.

Benötigte Materialien

  • Smartphone oder Tablet mit der App phyphox
  • zwei ca. \(3\rm{m}\) lange stabile Fäden
  • stabiles Klebeband (Panzerband) oder Gummiband
  • ein Stück Papprolle (z.B. von einer Toilettenpapierrolle) als Halterung für das Smartphone

Aufbau und Durchführung

In dem folgenden Video stellt dir Sebastian vom phyphox-Team die wichtigsten Schritte zum Aufbau und zur Durchführung des Experiments vor. Dabei sind für dieses Experiment zum Fadenpendel besonders die Informationen ab Minute 2:00 des Videos wichtig.

Aufnahme der Messwerte mit phyphox

Dein Fadenpendel führt eine periodische Bewegung durch. Das bedeutet unter anderem, dass der Pendelkörper nach gleichlangen Zeitabschnitten (der Periodendauer \(T\)) immer wieder die gleiche Winkelgeschwindigkeit besitzt. Dies nutzt phyphox für das Experiment "Fadenpendel".

Das sogenannte Gyroskop deines Smartphones misst ständig die Winkelgeschwindigkeit in drei Bewegungsrichtungen. Diese Werte liest phyphox kontinuierlich aus (und stellt sie graphisch im Reiter "ROHDATEN" dar). Aus diesen Daten bestimmt phyphox die Zeitspanne, nach der immer wieder gleiche Werte auftreten. Eine graphische Darstellung der Ergebnisse findest du im Reiter "AUTOKORRELATION". Diese Zeitspanne ist die Periodendauer \(T\), phyphox gibt diesen Wert und auch den der Frequenz \(f\) im Reiter "LÄNGE" aus.

Hilfen zur Durchführung

Fadenpendel bewegen sich nur dann "harmonisch" (wir werden diesen Begriff später genauer erklären), wenn die Anfangsauslenkung \(x_0\) nicht zu groß ist. Dies ist für Anfangswinkel kleiner als \(20^\circ \) der Fall. Bei einem Pendel mit der Fadenlänge \(l = 1{,}00{\rm{m}}\) darf die Anfangsauslenkung ungefähr \({x_0} = 0{,}30{\rm{m}}\) betragen, für kleinere Fadenlängen entsprechend weniger.

Wichtig ist auch, jeweils die Fadenlänge \(l\) deiner Anordnung zu bestimmen. Diese Fadenlänge \(l\) ist der Abstand des oberen Drehpunktes zur Mitte der Aufhängung deines Smartphones. Die wirklichen Fäden sind ein kleines Stück länger. Miss also am besten mit einem Maßband den genauen Abstand.

Aufgabe

a)Bestätigung des Zusammenhangs \(T \sim \sqrt l \)

Halte die Anfangsauslenkung \(y_0\) jeweils im erlaubten Bereich und verändere die Fadenlänge \(l\). Halte die verschiedenen Werte von \(l\) und \(T\) in einer Tabelle fest und trage anschließend die Messwerte in einem \(l\)-\(T\)-Diagramm auf.

Linearisiere das \(l\)-\(T\)-Diagramm und bestätige mit diesem linearisierten Diagramm den Zusammenhang \(T \sim \sqrt l \).

Lösung

Man erhält möglicherweise folgende Messwerte und das nebenstehende Diagramm.

\(l\;{\rm{in}}\;\rm{m}\) \(0{,}20\) \(0{,}40\) \(0{,}60\) \(0{,}80\) \(1{,}00\)
\(T\;{\rm{in}}\;\rm{s}\) \(0{,}90\) \(1{,}27\) \(1{,}55\) \(1{,}79\) \(2{,}01\)
 

Der Graph lässt sich entsprechend dem Zusammenhang \(T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt {\frac{l}{g}} = 2 \cdot \pi \cdot \frac{1}{{\sqrt g }} \cdot \sqrt l \sim \sqrt l \) linearisieren, indem man auf der horizontalen Achse statt der Größe \(l\) die Größe \(\sqrt l \) aufträgt. Man erhält so folgende Wertetabelle und das nebenstehende Diagramm.

\(l\;{\rm{in}}\;\rm{m}\) \(0{,}20\) \(0{,}40\) \(0{,}60\) \(0{,}80\) \(1{,}00\)
\(\sqrt {l/\rm{m}}\) \(0{,}45\) \(0{,}63\) \(0{,}77\) \(0{,}89\) \(1{,}00\)
\(T\;{\rm{in}}\;\rm{s}\) \(0{,}90\) \(1{,}27\) \(1{,}55\) \(1{,}79\) \(2{,}01\)
 

Die Wertepaare liegen mit einem Korrelationskoeffizienten nahe \(1\) auf einer Geraden; damit ist der Zusammenhang \(T \sim \sqrt l \) mit großer Genauigkeit experimentell bestätigt.

b)Heuristische Bestätigung des Zusammenhangs \(T \sim \frac {1}{\sqrt g} \)

In der Praxis können wir den Ortsfaktor \(g\) nicht verändern und deshalb den Zusammenhang \(T \sim \frac {1}{\sqrt g} \) auch nicht durch Veränderung von \(g\) experimentell überprüfen. Wenn wollen aber annehmen, dass die Schwingungsdauer \(T\) nur von der Fadenlänge \(l\) und dem Ortsfaktor \(g\) abhängt.

Bestätige durch eine Einheitenrechnung, dass der Zusammenhang \(T \sim \sqrt {\frac {l}{g} }\) möglich ist.

Lösung

Mit \(\left[ T \right] = 1{\rm{s}}\), \(\left[ l \right] = 1{\rm{m}}\) und \(\left[ g \right] = 1\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{kg}}}} = 1\frac{{{\rm{kg}} \cdot {\rm{m}}}}{{{{\rm{s}}^2} \cdot {\rm{kg}}}} = 1\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^2}}}\) ergibt sich\[\left[ {\sqrt {\frac{l}{g}} } \right] = \sqrt {\frac{{1{\rm{m}}}}{{1\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^2}}}}}} = \sqrt {\frac{{1{\rm{m}} \cdot {{\rm{s}}^2}}}{{1{\rm{m}}}}} = \sqrt {1{{\rm{s}}^2}} = 1{\rm{s}} = \left[ T \right]\]

c)Bestätigung des konstanten Faktors \(2 \cdot \pi \)

Erstelle mit Hilfe aller aufgenommenen Messwerte eine \(\sqrt {\frac{l}{g}} \)-\(T\)-Tabelle sowie ein \(\sqrt {\frac{l}{g}} \)-\(T\)-Diagramm.

Bestätige mit diesem Diagramm den konstanten Faktor \(2 \cdot \pi \) im Zusammenhang \(T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt {\frac{l}{g}} \).

Lösung

Mit allen Messwerten aus Teilaufgabe a) und dem Wert \(g = 9{,}81\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{kg}}}}\) erhält man möglicherweise folgende Wertetabelle und das nebenstehende Diagramm.

\(l\;{\rm{in}}\;{\rm{m}}\) \(0{,}20\) \(0{,}40\) \(0{,}60\) \(0{,}80\) \(1{,}00\)
\(g\;{\rm{in}}\;{\rm{\frac{N}{kg}}}\) \(9{,}81\) \(9{,}81\) \(9{,}81\) \(9{,}81\) \(9{,}81\)
\(\sqrt {\frac{l}{g}/\frac{{{\rm{m}} \cdot {\rm{kg}}}}{{\rm{N}}}} \) \(0{,}14\) \(0{,}20\) \(0{,}25\) \(0{,}29\) \(0{,}32\)
\(T\;{\rm{in}}\;\rm{s}\) \(0{,}90\) \(1{,}27\) \(1{,}55\) \(1{,}79\) \(2{,}01\)
 

Die Wertepaare liegen mit einem Korrelationskoeffizienten nahe \(1\) auf einer Geraden mit dem Steigungsfaktor \(k = 6{,}28 \approx 2 \cdot \pi \); damit ist der konstante Faktor \(2 \cdot \pi \) und schließlich der Zusammenhang \(T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt {\frac{l}{g}} \) mit großer Genauigkeit experimentell bestätigt.


Über phyphox

Die App phyphox wird von der RWTH Aachen entwickelt und steht allen Interessierten kostenlos zur Verfügung. phyphox ermöglicht es dir, mit den Sensoren deines Smartphones zu experimentieren, Messwerte aufzunehmen und auszuwerten.

Hier geht es zur Website des Projektes / phyphox für iOS / phyphox für Android

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