Mechanik

Mechanische Schwingungen

Sinusfunktion

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Sinusfunktion

Sinusfunktion

Zur Beschreibung einer harmonischen Schwingung wird im Allgemeinen die Sinusfunktion verwendet. In der Form \(y(t) = \hat y \cdot \sin \left( {\omega  \cdot t} \right)\) oder \(y(t) = \hat y \cdot \sin \left( {\frac{{2\pi }}{T} \cdot t} \right)\) stellt die Sinusfunktion nur einen Spezialfall dar. Hierbei hat die Schwingung zur Zeit \({t = 0}\) die Auslenkung (Elongation) null und beginnt in die positive \(y\)-Richtung zu schwingen.

Will man die harmonische Schwingung allgemeiner beschreiben, so wählt man die Funktion \(y(t) = \hat y \cdot \sin \left( {\omega  \cdot t + \varphi_0 } \right)\) oder \(y(t) = \hat y \cdot \sin \left( {\frac{{2\pi }}{T} \cdot t + \varphi_0 } \right)\).

Bezeichnungen

\(\hat y\): Amplitude (maximale Auslenkung); \(\left[ {\hat y} \right] = 1\rm{m}\)   \(T\): Schwingungsdauer; \(\left[ T \right] = 1{\rm{s}}\)
\(\omega \): Kreisfrequenz; \({\left[ \omega  \right] = \frac{{\rm{1}}}{{\rm{s}}}}\)   \(\varphi_0 \): Phasenverschiebung
\(f\): Frequenz; \({\left[ f \right] = \frac{{\rm{1}}}{{\rm{s}}} = 1{\rm{Hz}}}\)      

Wichtige Beziehungen

\[f = \frac{1}{T}\] \[\omega = 2\pi \cdot f\]

Im Weiteren soll nun gezeigt werden, wie sich der Graph der Grundfunktion \(y(t) = \hat y \cdot \sin \left( {\frac{{2\pi }}{T} \cdot t} \right)\) mit \(\hat y = 1{,}0\,\rm{cm}\), \(T = 6{,}3\,{\rm{s}}\) und \({\varphi_0  = 0}\) verändert, wenn man die Amplitude \({\hat y}\), die Kreisfrequenz \(\omega \) oder die Phasenverschiebung \(\varphi_0 \) variiert.

Änderung der Amplitude

Der Graph der Grundfunktion wird in \(y\)-Richtung gestreckt bzw. gestaucht.

Allgemeiner Funktionsterm
y(t) = ŷ·sin(ω·t + φo)
Amplitude
ŷ
Spezieller Funktionsterm
y(t) = sin(t)
HTML5-Canvas nicht unterstützt!
1 Abhängigkeit des Terms und des Graphen der Sinusfunktion von der Amplitude

Änderung der Kreisfrequenz

Der Graph der Grundfunktion wird in \(x\)-Richtung gestreckt bzw. gestaucht.

Allgemeiner Funktionsterm
y(t) = ŷ·sin(ω·t + φo)
Kreisfrequenz
ω
Spezieller Funktionsterm
y(t) = sin(t)
HTML5-Canvas nicht unterstützt!
2 Abhängigkeit des Terms und des Graphen der Sinusfunktion von der Kreisfrequenz

Änderung der Phasenverschiebung

Der Graph der Grundfunktion wird in \(x\)-Richtung nach rechts oder links verschoben.

Allgemeiner Funktionsterm
y(t) = ŷ·sin(ω·t + φo)
Phasenverschiebung
φo
Spezieller Funktionsterm
y(t) = sin(t)
HTML5-Canvas nicht unterstützt!
3 Abhängigkeit des Terms und des Graphen der Sinusfunktion von der Phasenverschiebung

Änderung von Amplitude, Kreisfrequenz und Phasenverschiebung

Der Graph der Grundfunktion wird in \(y\)-Richtung gestreckt bzw. gestaucht und in \(x\)-Richtung gestreckt bzw. gestaucht und nach rechts oder links verschoben.

Allgemeiner Funktionsterm
y(t) = ŷ·sin(ω·t + φo)
Amplitude
ŷ
Kreisfrequenz
ω
Phasenverschiebung
φo
Spezieller Funktionsterm
y(t) = sin(t)
HTML5-Canvas nicht unterstützt!
4 Abhängigkeit des Terms und des Graphen der Sinusfunktion von Amplitude, Kreisfrequenz und Phasenverschiebung

Anmerkung: Die letzten beiden Animationen zeigen insbesondere, dass \(\sin \left( {\omega  \cdot t + \frac{1}{2}\pi } \right)\) gleich \(\cos \left( {\omega  \cdot t} \right)\) ist

Aufgaben

a) Skizziere die Funktion \(y(t) = 3\thinspace {\rm{cm}} \cdot \sin \left( {\frac{{0,5}}{s} \cdot t - \frac{\pi }{2}} \right)\)

b) Skizziere die Funktion \(y(t) = -2\thinspace {\rm{cm}} \cdot \sin \left( {\frac{2}{s} \cdot t + \frac{\pi }{2}} \right)\)

c) Finde den Funktionsterm zu folgendem Graphen:

d) Finde den Funktionsterm zu folgendem Graphen:

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