Mechanik

Mechanische Schwingungen

Projektion einer Kreisbewegung

  • Wovon hängt eigentlich die Schwingungsdauer eines Pendels ab?
  • Geht eine Standuhr auf dem Mond genau?
  • Wie misst man im Weltall die Masse der Astronauten?

Projektion einer Kreisbewegung

Mit Hilfe eines Schattenwurfs wird der auf dem Kreis gleichförmig rotierende Punkt auf eine Wand projiziert.

Begründung des Zeit-Orts-Gesetzes

1 Entstehung des Zeit-Orts-Graphen einer harmonischen Schwingung durch die Projektion einer Kreisbewegung

Mit Hilfe des Schalters "Projektion" kann man sich die Bewegung des Schattenbildes auf der \(y\)-Achse einprägen. Die größte Auslenkung aus der Nulllage wird mit \(\hat y\) bezeichnet. Wenn du die Entstehung der Zeit Orts-Funktion (\(t\)-\(y\)-Funktion) der projizierten Bewegung betrachten willst, so drücke den Schalter "Projektion und Zeit-Orts-Kurve".

 

Bei den gegebenen Anfangsbedingungen ergibt sich (\(\varphi  = 0\) bei \(t  = 0\); Drehung im Gegenuhrzeigersinn) ergibt sich als Zeit-Orts-Graph eine Sinuskurve. Dies sieht man auch ohne Animation durch die Betrachtung der \(y\)-Komponente \(r_y\) des Radiusvektors im rechtwinkligen Dreieck mit dem Winkel \(\varphi \). Für \(r_y\) gilt\[r_y\left( \varphi \right) = r \cdot \sin \left( \varphi \right) = r \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)\]Bei der Schwingung bezeichnen wir die Auslenkung in \(y\)-Richtung mit \(y(t)\) und die maximale Auslenkung (welche dem Radius \(r\) der Kreisbahn entspricht) mit \(\hat y\). Somit gilt dann\[y(t) = \hat y \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)\]

Begründung des Zeit-Geschwindigkeits-Gesetzes

2 Herleitung des Zeit-Geschwindigkeits-Terms einer harmonischen Schwingung durch die Betrachtung einer Komponente des Geschwindigkeitsvektors einer gleichförmigen Kreisbewegung

Begründung des Zeit-Beschleunigungs-Gesetzes

3 Herleitung des Zeit-Beschleunigungs-Terms einer harmonischen Schwingung durch die Betrachtung einer Komponente des Beschleunigungsvektors einer gleichförmigen Kreisbewegung
5 Zeit-Orts-, Zeit-Geschwindigkeits- und Zeit-Beschleunigungs-Graphen einer harmonischen Schwingung

Die Animation in Abb. 5 zeigt den Zeit-Orts-, den Zeit-Geschwindigkeits- udn den Zeit-Beschleunigungs-Graphen einer harmonischen Schwingung.

Begründung des Linearen Kraftgesetzes

Nun können wir zeigen, dass aus der Eigenschaft einer harmonischen Schwingung als Projektion einer Kreisbewegung die Eigenschaft des linearen Kraftgesetzes gefolgert werden kann. Gilt nämlich wie oben gezeigt\[y(t) = \hat y \cdot \sin \left( {\omega  \cdot t} \right) \quad (1)\]\[{v_y}(t) = \omega \cdot \hat y  \cdot \cos \left( {\omega  \cdot t} \right) \quad (2)\]\[{a_y}(t) =  - {\omega ^2} \cdot \hat y  \cdot \sin \left( {\omega  \cdot t} \right) \quad(3)\], so erhält man nach dem 2. NEWTONschen Axiom \(F=m \cdot a\) für die rücktreibende Kraft \(F_{\rm{rück}}=F_y\) zu jedem Zeitpunkt \(t\) (und damit für jede Elongation \(y\))\[{F_{{\rm{rück}}}}(t) = m \cdot {a_y}(t)\mathop  = \limits_{(3)}  - m \cdot {\omega ^2} \cdot \hat y \cdot \sin \left( {\omega  \cdot t} \right)\mathop  = \limits_{(1)}  - m \cdot {\omega ^2} \cdot y(t)\]

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