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Grundwissen

Lineares Kraftgesetz

Das Wichtigste auf einen Blick

Erfährt ein schwingender Körper eine rücktreibende Kraft, die entgegengesetzt gerichtet und betraglich proportional zur Auslenkung des Körpers aus der Ruhelage ist (lineares Kraftgesetz, kurz \({F_{{\rm{rück}}}}(x) =  - k \cdot x\)), so wird seine Bewegung durch eine Zeit-Orts-Funktion wie z.B. \(x(t) = \hat x \cdot \sin \left( {\omega  \cdot t} \right)\) beschrieben.

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Abb. 1 Bewegung eines Körpers, auf den eine zur Auslenkung entgegengesetzt gerichtete und betraglich proportionale Rückstellkraft wirkt

Die Animation in Abb. 1 zeigt folgende Situation:

Wir betrachten einen schwingenden Körper, dessen Bewegung durch eine Zeit-Orts-Funktion \(x(t)\) beschrieben wird.

Die rücktreibende Kraft auf den schwingenden Körper folgt dem linearen Kraftgesetz, hat also die Form \({F_{{\rm{rück}}}}(x) =  - k \cdot x\).

Nach dem 2. NEWTONschen Gesetz, der Grundgleichung der Mechanik, gilt dann zu jedem Zeitpunkt \(t\) der Bewegung des Körpers die Gleichung\[m \cdot a = {F_{\rm{rück}}}\]Mit \(a = \ddot x(t)\) (Definition des Beschleunigung als 2. Ableitung des Ortes nach der Zeit) ergibt sich\[m \cdot \ddot x(t) = - k \cdot x(t)\]Dividiert man noch beide Seiten dieser Gleichung durch die Masse \(m\) und bringt den Term auf der rechten auf die linke Seite der Gleichung, so erhält man\[\ddot x(t) + \frac{k}{m} \cdot x(t) = 0 \quad (*)\]Die Zeit-Orts-Funktion \(x(t)\) des Körpers muss diese Gleichung \((*)\) zu jedem Zeitpunkt \(t\) erfüllen. Aus der Differentialrechnung weiß man nun, dass die zweite Ableitung der Sinusfunktion die "Minus-Sinusfunktion" ist. So findet man leicht, dass z.B. die Zeit-Orts-Funktion \(x(t) = \hat x \cdot \sin \left( {\sqrt {\frac{k}{m}}  \cdot t} \right)\) die Gleichung \((*)\) erfüllt: Setzt man nämlich\[x(t) = \hat x \cdot \sin \left( {\sqrt {\frac{k}{m}}  \cdot t} \right) \Rightarrow \dot x(t) = \sqrt {\frac{k}{m}}  \cdot \hat x \cdot \cos \left( {\sqrt {\frac{k}{m}}  \cdot t} \right) \Rightarrow \ddot x(t) =  - \frac{k}{m} \cdot \hat x \cdot \sin \left( {\sqrt {\frac{k}{m}}  \cdot t} \right)\]in Gleichung \((*)\) ein, so erhält man\[ - \frac{k}{m} \cdot \hat x \cdot \sin \left( {\sqrt {\frac{k}{m}}  \cdot t} \right) =  - \frac{k}{m} \cdot \hat x \cdot \sin \left( {\sqrt {\frac{k}{m}}  \cdot t} \right)\]eine stets wahre Aussage. Somit ist \(x(t) = \hat x \cdot \sin \left( {\sqrt {\frac{k}{m}}  \cdot t} \right)\) eine Lösung der Gleichung \((*)\) und damit eine Zeit-Orts-Funktion des schwingenden Körpers.

Aus diesen Überlegungen sieht man auch, dass es zwischen der Konstanten \(k\), der Masse \(m\) und der Kreisfrequenz \(\omega\) bzw. der Schwingungsdauer \(T\) Zusammenhänge gibt: Es gilt\[\omega  = \sqrt {\frac{k}{m}} \]und wegen \(\omega  = 2 \cdot \pi  \cdot f\) bzw. \(\omega  = \frac{{2 \cdot \pi }}{T}\)\[f = \frac{1}{{2 \cdot \pi }}\sqrt {\frac{k}{m}} \]sowie\[T = 2 \cdot \pi \sqrt {\frac{m}{k}} \]

Bemerkungen

In der Gleichung \((*)\) kommt die Funktion \(x(t)\) und mindestens eine ihrer Ableitungen (hier die 2. Ableitung \(\ddot x(t)\)) vor. Man nennt eine solche Gleichung Differentialgleichung. Da die höchste vorkommende Ableitung hier die 2. Ableitung ist, spricht man von einer Differentialgleichung 2. Ordnung. Schließlich ist die Differentialgleichung homogen, da in der Gleichung \((*)\) kein Summand ohne die Funktion \(x(t)\) oder eine ihrer Ableitungen auftaucht.

Das Finden von Lösungen von Differentialgleichungen gehört zur Hochschul-Mathematik. Wir sind bescheidener und zeigen meistens nur, dass eine angegebene Funktion eine Differentialgleichung (und ihre Anfangsbedingungen) erfüllt.

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