Mechanische Schwingungen

Ausblick

Schwingende Boje

Das Wichtigste auf einen Blick

•Eine schwingende Boje mit der Dichte \(\rho_{\rm{B}}\) und der Länge \(L\) schwingt im Wasser (Dichte \(\rho_{\rm{W}}\)) harmonisch mit der Zeit-Ort-Funktion\[y(t) = {y_0} \cdot \cos \left( {\sqrt {\frac{{{\rho _{\rm{W}}} \cdot g}}{{{\rho _{\rm{B}}} \cdot L}}} \cdot t} \right)\]

•Die Schwingungsdauer berechnet sich durch \(T = 2\pi \cdot \sqrt {\frac{\rho _{\rm{B}} \cdot L}{\rho _{\rm{W}} \cdot g}}\).

Vorlesen

Größen

Abb. 1 Bewegung einer schwingenden Boje im Wasser und einige Größen, die zur Beschreibung der Bewegung wichtig sind

Als Modell einer schwingenden Boje betrachten wir einen zylindrischen Körper, dessen Dichte kleiner als die von Wasser ist. In der Praxis ist die Masse der Boje am unteren Ende konzentriert, so dass die Boje im Wasser "aufrecht" schwimmt. Die Boje wird ein Stück aus der Gleichgewichtslage ausgelenkt, festgehalten und dann losgelassen. Die Animation in Abb. 1 zeigt den prinzipiellen Aufbau, die Durchführung und die Beobachtung des entsprechenden Versuchs. Wenn du die Checkbox "Größen" anwählst, kannst du dir in der Animation die wichtigsten Größen zur Beschreibung der Bewegung einblenden lassen.

Im Folgenden werden wir die Bewegung der schwingenden Boje mathematisch auf Basis des 2. Axioms von NEWTON (Aufstellen und dann Lösen der Gleichung \(F=m \cdot a \Leftrightarrow a = \frac{F}{m}\; (*)\)) beschreiben. Hierzu machen wir folgende vereinfachende Annahmen:

•Der Schwerpunkt der Boje liegt auf halber Höhe des Zylinders.

•Die Bewegung der Boje im Wasser verläuft reibungsfrei.

1. Einführen eines geeigneten Koordinatensystems

Wir wählen eine vertikales Koordinatensystem (\(y\)-Achse), dessen Nullpunkt in der Ruhelage des Schwerpunktes der schwimmenden Boje liegt und das nach oben orientiert ist (vgl. Animation). Da es sich um eine eindimensionale Bewegung handelt, brauchen wir den Vektorcharakter aller Größen nicht zu berücksichtigen; wir kennzeichnen lediglich durch Vorzeichen, ob eine Größe in (+) oder gegen (-) die Orientierung des Koordinatensystems gerichtet ist. Damit gilt\[a = \ddot y(t) \quad (1)\]

2. Bestimmen der beschleunigenden Kraft \(F=F_{\rm{res}}\)

Da die Bewegung reibungsfrei verlaufen soll, wirken auf die Boje nur zwei Kräfte: Die Gewichtskraft \(\vec F_{\rm{G}}\) und die Auftriebskraft \(\vec F_{\rm{A}}\). Wir erhalten also \[F_{\rm{res}}=F_{\rm{G}} + F_{\rm{A}} \quad(2)\]

3. Bestimmen der beschleunigten Masse \(m\)

Die beschleunigte Masse ist allein die Masse \(m\) der Boje. Sie bleibt während der Schwingung konstant. Bezeichnen wir die Dichte der Boje mit \(\rho_{\rm{B}}\), die Querschnittsfläche der Boje mit \(A\) und die Länge der Boje mit \(L\), so gilt wegen \(m = \rho \cdot V\) und der Zylinderform der Boje\[m = {\rho _{\rm{B}}} \cdot A \cdot L \quad (3)\]

4. Konkretisieren der Bewegungsgleichung

Somit ergibt sich aus Gleichung \((*)\) mit \((1)\) und \((2)\)\[\ddot y(t) = \frac{F_{\rm{G}}+F_{\rm{A}}}{m}\quad (**)\]Nun analysieren wir schrittweise den Term auf der rechten Seite von Gleichung \((**)\).

Schritt 1

Die Gewichtskraft \(\vec F_{\rm{G}}\) ist stets gegen die Orientierung des Koordinatensystems gerichtet; es gilt also\[F_{\rm{G}} = - m \cdot g \quad (4)\]

Schritt 2

Abb. 2 Bewegung einer schwingenden Boje im Wasser und insbesondere die Größen, die zur Beschreibung der Auftriebskraft wichtig sind

Wir stellen die Details zur Bestimmung der Auftriebskraft auf die schwingende Boje in der Animation in Abb. 2 genauer dar.

Wir lassen die Boje langsam in das Wasser ab. Dabei sinkt die Boje so weit in das Wasser hinunter, bis die Auftriebskraft \(\vec F_{\rm{A}}\) die Gewichtskraft \(\vec F_{\rm{G}}\) kompensiert und Kräftegleichgewicht herrscht. Der Schwerpunkt der Boje befindet sich nun in der Ruhelage \(y=0\), die Boje ist die Strecke \(s_0\) in das Wasser eingetaucht. Bezeichnen wir die Dichte des Wassers mit \(\rho_{\rm{W}}\), so gilt für die Auftriebskraft in dieser Position \({F_{{\rm{A}}{\rm{,}}{{\rm{s}}_0}}} = {\rho _{\rm{W}}} \cdot A \cdot {s_0} \cdot g\). Wegen des Kräftegleichgewichts gilt dann\[\begin{eqnarray}{F_{{\rm{A}},{{\rm{s}}_{\rm{0}}}}} &=& - {F_{\rm{G}}}\\{\rho _{\rm{W}}} \cdot A \cdot {s_0} \cdot g &=& -( - m \cdot g) = m \cdot g\quad (5)\end{eqnarray}\]Wird der Pendelkörper aus der Ruhelage auf die Position \(y\) ausgelenkt, so ist die Boje um die Strecke \(s=s_0-y\) in das Wasser eingetaucht (Beachte, dass bei \(y<0\) dann \(s=s_0-y>s_0\) ist). Bei einer Auslenkung der Boje auf eine Position \(y\) gilt somit für die (stets positiv orientierte) Auftriebskraft \(F_{\rm{A}}\)\[F_{\rm{A}} = {\rho _{\rm{W}}} \cdot A \cdot \left( {{s_0} - y} \right) \cdot g\]Da diese Beziehung zu jedem Zeitpunkt \(t\) der Bewegung gilt, können wir statt \(y\) allgemeiner \(y(t)\) schreiben und erhalten\[F_{\rm{A}} = {\rho _{\rm{W}}} \cdot A \cdot \left( {{s_0} - y(t)} \right) \cdot g \quad(6)\]

Setzen wir \((4)\), \((6)\), \((5)\) und \((3)\) in \((**)\) ein, so erhalten wir\[\begin{eqnarray}\ddot y(t) &=& \frac{{{F_{\rm{G}}} + {F_{\rm{A}}}}}{m}\\&\underbrace = _{(4),(6)}&\frac{{ - m \cdot g + {\rho _{\rm{W}}} \cdot A \cdot \left( {{s_0} - y(t)} \right) \cdot g}}{m}\\ &=& \frac{{ - m \cdot g + {\rho _{\rm{W}}} \cdot A \cdot {s_0} \cdot g - {\rho _{\rm{W}}} \cdot A \cdot y(t) \cdot g}}{m}\\&\underbrace = _{(5)}&\frac{{ - m \cdot g + m \cdot g - {\rho _{\rm{W}}} \cdot A \cdot y(t) \cdot g}}{m}\\ &=& - \frac{{{\rho _{\rm{W}}} \cdot A \cdot g}}{m} \cdot y(t) \\&\underbrace = _{(3)}& - \frac{{{\rho _{\rm{W}}} \cdot A \cdot g}}{{\rho _{\rm{B}}} \cdot A \cdot L} \cdot y(t) \\ &=& - \frac{\rho _{\rm{W}} \cdot g}{{\rho _{\rm{B}}} \cdot L} \cdot y(t)\end{eqnarray}\]Bringen wir noch alle Terme auf die linke Seite der Gleichung, so erhalten wir\[\ddot y(t) + \frac{\rho _{\rm{W}} \cdot g}{{\rho _{\rm{B}}} \cdot L} \cdot y(t) = 0\quad (***)\]Gleichung \((***)\) ist die Differentialgleichung zur Beschreibung der schwingenden Boje.

5. Angeben der Anfangsbedingungen

Zum Zeitpunkt \(t = 0\) ist der Schwerpunkt der Boje auf die Position \(y_0\) ausgelenkt und wird dort festgehalten (vgl. Animation in Abb. 1). Die Anfangsbedingungen lauten demnach \(y(0)=y_0\) und \(\dot y(0) = v(0)= 0\).

6. Lösen der Bewegungsgleichung

Die Bewegungsgleichung ist gelöst, wenn man eine Funktion \(y(t)\) gefunden hat, die die Gleichung \((***)\) und die beiden Anfangsbedingungen \(y(0)=y_0\) und \(\dot y(0) = v(0)= 0\) erfüllt. Diese Funktion beschreibt dann die Bewegung der schwingenden Boje vollständig. Wenn du an dieser mathematischen Aufgabe interessiert bist, kannst du dir Herleitung einblenden lassen.

Gesucht ist eine Lösung von Gleichung \((***)\), d.h. eine Funktion \(y(t)\), deren zweite Ableitung \(\ddot y(t)\) entgegengesetzt proportional zur Funktion \(y(t)\) ist. Dies trifft sowohl auf die Sinus- als auch auf die Kosinusfunktion zu. Wegen der Anfangsbedingung \(y(0)=y_0\ne 0\) kommt wegen \(\sin (0) = 0\) hier nur die Kosinusfunktion als Lösung in Betracht. Wir setzen also an mit der allgemeinen Kosinusfunktion\[y(t) = \hat y \cdot \cos \left( {\omega_0 \cdot t} \right)\]und müssen nun die Größen \(\omega_0\) und \(\hat y\) bestimmen.

Zur Bestimmung von \(\omega_0\) bilden wir die 2. Ableitung der Funktion\[\ddot y(t) = - \hat y \cdot {\omega_0^2} \cdot \cos \left( {\omega_0 \cdot t} \right)\]und setzen diese und \(y(t)\) in Gleichung \((***)\) ein. Dann erhalten wir\[\begin{eqnarray} - \hat y \cdot {\omega_0^2} \cdot \cos \left( {\omega_0 \cdot t} \right) + \frac{{{\rho _{\rm{W}}}}}{{\rho _{\rm{B}}} \cdot L} \cdot \hat y \cdot \cos \left( {\omega_0 \cdot t} \right) &=& 0\\ - \hat y \cdot \cos \left( {\omega_0 \cdot t} \right) \cdot \left[ {{\omega_0^2} - \frac{\rho _{\rm{W}}\cdot g}{{\rho _{\rm{B}}} \cdot L}} \right] &=& 0\end{eqnarray}\]Die linke Seite dieser Gleichung ist nur dann immer \(0\), wenn\[{{\omega_0^2} - \frac{\rho _{\rm{W}}\cdot g}{{\rho _{\rm{B}}} \cdot L} = 0 \Rightarrow \omega_0 = \sqrt {\frac{\rho _{\rm{W}}\cdot g}{{\rho _{\rm{B}}} \cdot L}} }\]

Zur Bestimmung von \(\hat y\) nutzen wir die erste Anfangsbedingung \(y(0) = {y_0}\). Damit diese Bedingung erfüllt ist, muss gelten\[y(0) = {y_0} \Rightarrow \hat y \cdot \underbrace {\cos \left( {\omega_0 \cdot 0} \right)}_{ = \;1} = {y_0} \Rightarrow \hat y = {y_0}\]Auch die zweite Anfangsbedingung \(v(0)=\dot y(0) = 0\) muss erfüllt sein. Hier sehen wir mit \(v(t)=\dot y(t) = - \hat y \cdot \omega_0 \cdot \sin \left( {\omega_0 \cdot t} \right)\), dass diese bereits erfüllt ist:\[v(0)=\dot y(0) = - \hat y \cdot \omega_0 \cdot \underbrace {\sin \left( {\omega_0 \cdot 0} \right)}_{ = \;0} = 0\]

Bewegung einer schwingenden Boje

Bei geeignet gewähltem Koordinatensystem (vgl. Animation in Abb. 1) und den Anfangsbedingungen \(y(0) = {y_0}\) und \(v(0)=\dot y(0) = 0\) wird die Bewegung einer schwingenden Boje mit der Dichte \(\rho_{\rm{B}}\) und der Länge \(L\) im Wasser (Dichte \(\rho_{\rm{W}}\)) beschrieben durch die Zeit-Ort-Funktion\[y(t) = {y_0} \cdot \cos \left( {\sqrt {\frac{{{\rho _{\rm{W}}} \cdot g}}{{{\rho _{\rm{B}}} \cdot L}}} \cdot t} \right)\]Die schwingende Boje schwingt somit harmonisch.

Für die Schwingungsdauer \(T\) ergibt sich dann wegen \(T=\frac{2 \cdot \pi}{\omega}\)\[T = \frac{{2 \cdot \pi }}{{\sqrt {\frac{{D}}{m}} }} = 2\pi \cdot \sqrt {\frac{\rho _{\rm{B}} \cdot L}{\rho _{\rm{W}} \cdot g}} \]

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