Mechanische Schwingungen

Ein Kettenpendel besteht im Allgemeinen aus einem Stück Kette, dessen beiden Enden mit einem Faden verbunden sind. Der Faden wird über eine drehbare Rolle gelegt, die Kette anfangs aus der Gleichgewichtslage ausgelenkt und dann losgelassen. Die Animation in Abb. 1 zeigt den prinzipiellen Aufbau, die Durchführung und die Beobachtung des entsprechenden Versuchs.

Durch Wählen der Checkbox "Größen" kannst du dir in der Animation die wichtigsten Größen zur Beschreibung der Bewegung einblenden lassen.

Im Folgenden werden wir die Bewegung des Kettenpendels mathematisch auf Basis des 2. Axioms von NEWTON (Aufstellen und dann Lösen der Gleichung \(F=m \cdot a \Leftrightarrow a = \frac{F}{m}\; (*)\)) beschreiben.

0. Einführung eines geeigneten Koordinatensystems

Wir wählen eine vertikal gerichtete Koordinatenachse (\(y\)-Achse), deren Nullpunkt in Höhe der Gleichgewichtslage der Kettenenden liegt und die nach oben orientiert ist (vgl. Animation). Damit gilt \(a = \ddot y(t)\;(1)\).

1. Bestimmung der beschleunigten Masse \(m\)

Da die gesamte Kette schwingt, ist die beschleunigte Masse die Masse \(m_{\rm{ges}}\) dieser gesamten Kette (vgl. Animation). Sie bleibt während der Schwingung konstant. Damit gilt \(m = m_{\rm{ges}}\;(2)\).

2. Bestimmung der beschleunigenden Kraft \(F\)

Auf die gesamte Kette wirkt die Gewichtskraft \(\vec F_{\rm{G}}\) des Kettenstücks, das sich jeweils oberhalb des Kettenendes auf der andern Seite der Anordnung befindet (vgl. punktierte Linien in der Animation). Wir bezeichnen die Masse dieses Kettenstücks mit \(m_{\rm{ü}}\), der Betrag der Gewichtskraft ist damit \(\left | F_{\rm{G}} \right | = m_{\rm{ü}} \cdot g\) (vgl. Animation).

Wie in der Animation zu erkennen ist, ist die Gewichtskraft \(\vec F_{\rm{G}}\) entgegengesetzt gerichtet zur Auslenkung \(y\). Wir erhalten also \(F=F_{\rm{G}} = -m_{\rm{ü}} \cdot g\;(3)\).

3. Ausfüllen der Bewegungsgleichung

Somit ergibt sich aus Gleichung \((*)\) mit \((1)\), \((2)\) und \((3)\)\[\ddot y(t) = \frac{-m_{\rm{ü}} \cdot g}{m_{\rm{ges}}}\quad (**)\]Nun analysieren wir den Term auf der rechten Seite von Gleichung \((**)\).

Das Material, aus dem die Kette hergestellt ist, hat eine bestimmte Dichte \(\rho\), und die Kette selbst kann man durch einen Zylinder mit einer Querschnittsfläche der Größe \(A\) gut annähern.

Die gesamte Kette soll die Länge \(L\) haben. Dann ist die Masse der gesamten Kette \(m_{{\rm{ges}}}\)\[m_{{\rm{ges}}} = \rho  \cdot A \cdot L \quad (4)\]Das Kettenstück, das sich zu einem beliebigen Zeitpunkt \(t\) oberhalb des Kettenendes auf der andern Seite der Anordnung befindet (vgl. punktierte Linien in der Animation), hat die Länge \(2 \cdot y(t)\). Dann ist die Masse dieses Kettenstücks\[m_{\rm{ü}} = \rho  \cdot A \cdot 2 \cdot y(t) \quad (5)\]Setzen wir \((4)\) und \((5)\) in \((**)\) ein, so erhalten wir\[\begin{eqnarray}\ddot y(t) = \frac{-{\rho  \cdot A \cdot 2 \cdot y(t) \cdot g}}{{\rho  \cdot A \cdot L}} &=& -\frac{{2 \cdot g}}{L} \cdot y(t)\\\ddot y(t) + \frac{{2 \cdot g}}{L} \cdot y(t) &=& 0\quad (***)\end{eqnarray}\]Diese letzte Gleichung \((***)\) ist die Differentialgleichung zur Beschreibung des Kettenpendels mit den Anfangsbedingungen \(y(0) = {y_0}\) und \(\dot y(0) = 0\).

4. Lösen der Bewegungsgleichung

Genau wie die Bewegungsgleichung eines Federpendels wird Gleichung \((***)\) allgemein durch eine Funktion der Form\[y(t) = \hat y \cdot \cos \left( {\omega  \cdot t} \right)\]gelöst. Bestimmen wir die 2. Ableitung \(\ddot y(t) =  - \hat y \cdot {\omega ^2} \cdot \cos \left( {\omega  \cdot t} \right)\) und setzen \(y(t)\) und \(\ddot y(t)\) in Gleichung \((***)\) ein, so erhalten wir\[\begin{eqnarray} - \hat y \cdot {\omega ^2} \cdot \cos \left( {\omega  \cdot t} \right) + \frac{{2 \cdot g}}{L} \cdot \hat y \cdot \cos \left( {\omega  \cdot t} \right) &=& 0\\ - \hat y \cdot \cos \left( {\omega  \cdot t} \right) \cdot \left[ {{\omega ^2} - \frac{{2 \cdot g}}{L}} \right] &=& 0\end{eqnarray}\]Die linke Seite dieser Gleichung ist nur dann immer \(0\), wenn\[{{\omega ^2} - \frac{{2 \cdot g}}{L} = 0 \Rightarrow \omega  = \sqrt {\frac{{2 \cdot g}}{L}} }\]Weiter ergibt sich\[y(0) = {y_0} \Rightarrow \hat y \cdot \underbrace {\cos \left( {\omega  \cdot 0} \right)}_{ = \;1} = {y_0} \Rightarrow \hat y = {y_0}\]und mit \(\dot y(t) =  - \hat y \cdot \omega \cdot \sin \left( {\omega  \cdot t} \right)\)\[\dot y(0) =  - \hat y \cdot \omega  \cdot \underbrace {\sin \left( {\omega  \cdot 0} \right)}_{ = \;0} = 0\]Damit wird die Bewegung des Kettenpendels beschrieben durch die Zeit-Ort-Funktion\[y(t) = {y_0} \cdot \cos \left( {\sqrt {\frac{{2 \cdot g}}{L}}  \cdot t} \right)\]Für die Schwingungsdauer \(T\) ergibt sich dann wegen \(T=\frac{2 \cdot \pi}{\omega}\)\[T = \frac{{2 \cdot \pi }}{{\sqrt {\frac{{2 \cdot g}}{L}} }} = 2 \cdot \pi  \cdot \sqrt {\frac{L}{{2 \cdot g}}} \]