Mechanische Schwingungen

Ein Flüssigkeitspendel, auch bekannt als schwingende Flüssigkeitssäule, ist im Allgemeinen ein U-Rohr, in dem eine anfangs aus der Gleichgewichtslage ausgelenkte Flüssigkeitssäule schwingt. Die Animation in Abb. 1 zeigt den prinzipiellen Aufbau, die Durchführung und die Beobachtung des entsprechenden Versuchs. Die Anfangsauslenkung der Flüssigkeitssäule verursacht man üblicherweise, indem man Luft in eine Öffnung des U-Rohres bläst.

Durch Wählen der Checkbox "Größen" kannst du dir in der Animation die wichtigsten Größen zur Beschreibung der Bewegung einblenden lassen.

Im Folgenden werden wir die Bewegung des Flüssigkeitspendels mathematisch auf Basis des 2. Axioms von NEWTON (Aufstellen und dann Lösen der Gleichung \(F=m \cdot a \Leftrightarrow a = \frac{F}{m}\; (*)\)) beschreiben.

1. Einführung eines geeigneten Koordinatensystems

Wir wählen eine vertikal gerichtete Koordinatenachse (\(y\)-Achse), deren Nullpunkt in Höhe der Gleichgewichtslage des Flüssigkeitsspiegels liegt und die nach oben orientiert ist (vgl. Animation). Damit gilt \(a = \ddot y(t)\;(1)\).

2. Bestimmung der beschleunigenden Kraft \(F\)

Auf die gesamte Flüssigkeitssäule wirkt die Gewichtskraft \(\vec F_{\rm{G}}\) der Flüssigkeitsmenge, die sich jeweils oberhalb des Flüssigkeitspegels auf der andern Seite des U-Rohres befindet (vgl. punktierte Linien in der Animation). Wir bezeichnen die Masse dieser Flüssigkeitsmenge mit \(m_{\rm{ü}}\), der Betrag der Gewichtskraft ist damit \(\left | F_{\rm{G}} \right | = m_{\rm{ü}} \cdot g\) (vgl. Animation).

Wie in der Animation zu erkennen ist, ist die Gewichtskraft \(\vec F_{\rm{G}}\) entgegengesetzt gerichtet zur Auslenkung \(y\). Wir erhalten also \(F=F_{\rm{G}} = -m_{\rm{ü}} \cdot g\;(2)\).

3. Bestimmung der beschleunigten Masse \(m\)

Da die gesamte Flüssigkeitssäule schwingt, ist die beschleunigte Masse die Masse \(m_{\rm{ges}}\) dieser gesamten Flüssigkeitssäule (vgl. Animation). Sie bleibt während der Schwingung konstant. Damit gilt \(m = m_{\rm{ges}}\;(3)\).

4. Ausfüllen der Bewegungsgleichung

Somit ergibt sich aus Gleichung \((*)\) mit \((1)\), \((2)\) und \((3)\)\[\ddot y(t) = \frac{-m_{\rm{ü}} \cdot g}{m_{\rm{ges}}}\quad (**)\]Nun analysieren wir den Term auf der rechten Seite von Gleichung \((**)\).

Die Flüssigkeit hat eine bestimmte Dichte \(\rho\) und das U-Rohr eine Querschnittsfläche der Größe \(A\). Dann hat die Flüssigkeit im U-Rohr annähernd die Form eines Zylinders.

Die gesamte Flüssigkeitssäule soll die Länge \(L\) haben. Dann ist die Masse der gesamten Flüssigkeitssäule\[m_{{\rm{ges}}} = \rho  \cdot A \cdot L \quad (4)\] Die Flüssigkeitsmenge, die sich zu einem beliebigen Zeitpunkt \(t\) oberhalb des Flüssigkeitspegels auf der andern Seite der Anordnung befindet (vgl. punktierte Linien in der Animation), hat die Länge \(2 \cdot y(t)\). Dann ist die Masse dieser Flüssigkeitsmenge\[m_{\rm{ü}} = \rho  \cdot A \cdot 2 \cdot y(t) \quad (5)\]Setzen wir \((4)\) und \((5)\) in \((**)\) ein, so erhalten wir\[\begin{eqnarray}\ddot y(t) = \frac{-{\rho  \cdot A \cdot 2 \cdot y(t) \cdot g}}{{\rho  \cdot A \cdot L}} &=& -\frac{{2 \cdot g}}{L} \cdot y(t)\\\ddot y(t) + \frac{{2 \cdot g}}{L} \cdot y(t) &=& 0\quad (***)\end{eqnarray}\]Diese letzte Gleichung \((***)\) ist die Differentialgleichung zur Beschreibung des Flüssigkeitspendels mit den Anfangsbedingungen \(y(0) = {y_0}\) und \(\dot y(0) = 0\).

5. Lösen der Bewegungsgleichung

Genau wie die Bewegungsgleichung eines Federpendels wird Gleichung \((***)\) allgemein durch eine Funktion der Form\[y(t) = \hat y \cdot \cos \left( {\omega  \cdot t} \right)\]gelöst. Bestimmen wir die 2. Ableitung \(\ddot y(t) =  - \hat y \cdot {\omega ^2} \cdot \cos \left( {\omega  \cdot t} \right)\) und setzen \(y(t)\) und \(\ddot y(t)\) in Gleichung \((***)\) ein, so erhalten wir\[\begin{eqnarray} - \hat y \cdot {\omega ^2} \cdot \cos \left( {\omega  \cdot t} \right) + \frac{{2 \cdot g}}{L} \cdot \hat y \cdot \cos \left( {\omega  \cdot t} \right) &=& 0\\ - \hat y \cdot \cos \left( {\omega  \cdot t} \right) \cdot \left[ {{\omega ^2} - \frac{{2 \cdot g}}{L}} \right] &=& 0\end{eqnarray}\]Die linke Seite dieser Gleichung ist nur dann immer \(0\), wenn\[{{\omega ^2} - \frac{{2 \cdot g}}{L} = 0 \Rightarrow \omega  = \sqrt {\frac{{2 \cdot g}}{L}} }\]Weiter ergibt sich\[y(0) = {y_0} \Rightarrow \hat y \cdot \underbrace {\cos \left( {\omega  \cdot 0} \right)}_{ = \;1} = {y_0} \Rightarrow \hat y = {y_0}\]und mit \(\dot y(t) =  - \hat y \cdot \omega \cdot \sin \left( {\omega  \cdot t} \right)\)\[\dot y(0) =  - \hat y \cdot \omega  \cdot \underbrace {\sin \left( {\omega  \cdot 0} \right)}_{ = \;0} = 0\]Damit wird die Bewegung des Flüssigkeitspendels beschrieben durch die Zeit-Ort-Funktion\[y(t) = {y_0} \cdot \cos \left( {\sqrt {\frac{{2 \cdot g}}{L}}  \cdot t} \right)\]Für die Schwingungsdauer \(T\) ergibt sich dann wegen \(T=\frac{2 \cdot \pi}{\omega}\)\[T = \frac{{2 \cdot \pi }}{{\sqrt {\frac{{2 \cdot g}}{L}} }} = 2 \cdot \pi  \cdot \sqrt {\frac{L}{{2 \cdot g}}} \]