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Aufgabe

Untersuchung eines Federpendels

Schwierigkeitsgrad: leichte Aufgabe

An einer Schraubenfeder, deren oberes Ende befestigt ist, hängt ein Körper mit der Masse \(1{,}0\,\rm{kg}\). Er wird durch eine Vorrichtung so gehalten, dass die Feder gerade entspannt ist. Nach Wegnahme der Halterung führt der Körper ungedämpfte Schwingungen mit der Amplitude von \(25\,\rm{cm}\) aus.

Rechne näherungsweise mit \(g = 10\, \rm{\frac{m}{s^2}}\)

a)Begründe, warum die Schwingung harmonisch ist.

b)Leite die Formel \(T = 2 \cdot \pi  \cdot \sqrt {\frac{m}{D}} \) für die Schwingungsdauer des Federpendels her.

c)Berechne die Schwingungsdauer \(T\) des Federpendels.

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a)Das Federpendel führt eine harmonische Schwingung aus, da bei ihm ein lineares Kraftgesetz vorliegt\[F(t) =  - D \cdot y(t)\]

Hinweis: Die Schwingung erfolge längs der \(y\)-Achse, die ihren Nullpunkt bei der Gleichgewichtslage hat.

b)Für das Zeit-Orts-Gesetz gilt\[y(t) = \hat y \cdot \sin \left( {\omega  \cdot t} \right)\]Die Beschleunigung ergibt sich\[a(t) =  - {\omega ^2} \cdot \hat y \cdot \sin \left( {\omega  \cdot t} \right)\]Somit gilt für den Verlauf der beschleunigenden Kraft\[F(t) = m \cdot a(t) =  - m \cdot {\omega ^2} \cdot \hat y \cdot \sin \left( {\omega  \cdot t} \right) =  - m \cdot {\omega ^2} \cdot y(t)\]Die Proportionalitätskonstante im Kraftgesetz wird als Richtgröße bezeichnet. Durch Vergleich mit Teilaufgabe a) erhält man\[D = m \cdot {\omega ^2}\]und mit \(\omega  = \frac{{2 \cdot \pi }}{T}\)\[D = m \cdot {\left( {\frac{{2 \cdot \pi }}{T}} \right)^2} \Rightarrow T = 2 \cdot \pi  \cdot \sqrt {\frac{m}{D}} \]

c)Berechnung der Federhärte:\[D = \frac{{\Delta F}}{{\Delta y}} = \frac{{m \cdot g}}{{\hat y}} \Rightarrow D = \frac{{1{,}0\,{\rm{kg}} \cdot 10\,\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{kg}}}}}}{{0{,}25\,{\rm{m}}}} = 40\,\frac{{\rm{N}}}{{\rm{m}}}\]Berechnung der Schwingungsdauer:\[T = 2 \cdot \pi  \cdot \sqrt {\frac{m}{D}}  \Rightarrow T = 2 \cdot \pi  \cdot \sqrt {\frac{{1{,}0\,{\rm{kg}}}}{{40\,\frac{{\rm{N}}}{{\rm{m}}}}}}  = 0{,}99\,{\rm{s}}\]

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Mechanik

Mechanische Schwingungen