An einer Schraubenfeder, deren oberes Ende befestigt ist, hängt ein Körper mit der Masse \(1{,}0\,\rm{kg}\). Er wird durch eine Vorrichtung so gehalten, dass die Feder gerade entspannt ist. Nach Wegnahme der Halterung führt der Körper ungedämpfte Schwingungen mit der Amplitude von \(25\,\rm{cm}\) aus.
Rechne näherungsweise mit \(g = 10\, \rm{\frac{m}{s^2}}\)
a)
Begründe, warum die Schwingung harmonisch ist.
b)
Leite die Formel \(T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt {\frac{m}{D}} \) für die Schwingungsdauer des Federpendels her.
c)
Berechne die Schwingungsdauer \(T\) des Federpendels.
Das Federpendel führt eine harmonische Schwingung aus, da bei ihm ein lineares Kraftgesetz vorliegt\[F(t) = - D \cdot y(t)\]
Hinweis: Die Schwingung erfolge längs der \(y\)-Achse, die ihren Nullpunkt bei der Gleichgewichtslage hat.
b)
Für das Zeit-Orts-Gesetz gilt\[y(t) = \hat y \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)\]Die Beschleunigung ergibt sich\[a(t) = - {\omega ^2} \cdot \hat y \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)\]Somit gilt für den Verlauf der beschleunigenden Kraft\[F(t) = m \cdot a(t) = - m \cdot {\omega ^2} \cdot \hat y \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right) = - m \cdot {\omega ^2} \cdot y(t)\]Die Proportionalitätskonstante im Kraftgesetz wird als Richtgröße bezeichnet. Durch Vergleich mit Teilaufgabe a) erhält man\[D = m \cdot {\omega ^2}\]und mit \(\omega = \frac{{2 \cdot \pi }}{T}\)\[D = m \cdot {\left( {\frac{{2 \cdot \pi }}{T}} \right)^2} \Rightarrow T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt {\frac{m}{D}} \]
c)
Berechnung der Federhärte:\[D = \frac{{\Delta F}}{{\Delta y}} = \frac{{m \cdot g}}{{\hat y}} \Rightarrow D = \frac{{1{,}0\,{\rm{kg}} \cdot 10\,\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{kg}}}}}}{{0{,}25\,{\rm{m}}}} = 40\,\frac{{\rm{N}}}{{\rm{m}}}\]Berechnung der Schwingungsdauer:\[T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt {\frac{m}{D}} \Rightarrow T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt {\frac{{1{,}0\,{\rm{kg}}}}{{40\,\frac{{\rm{N}}}{{\rm{m}}}}}} = 0{,}99\,{\rm{s}}\]
