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Aufgabe

Trampolin

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

Ein Trampolin besteht aus vier gleichen Federn und einer Platte. Die Massen der Federn und der Platte werden vernachlässigt.

a)Wenn sich eine Versuchsperson V mit der Masse \(60\,\rm{kg}\) auf die Mitte der Platte stellt, so kommt die Platte in einer um \(25\,\rm{cm}\) tiefer liegenden Gleichgewichtslage zur Ruhe. Die Versuchsperson V ist als Massenpunkt zu betrachten; \({g = 9{,}81\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}}\).

Berechne die Federkonstante \(D\) der gesamten Anordnung.

b)Wird die Platte um weitere \(25\,\rm{cm}\) nach unten gedrückt und zum Zeitpunkt \(t = 0\,{\rm{s}}\) losgelassen, so führt das System vertikale Schwingungen aus.

Berechne die Schwingungsdauer \(T\).

Zeichne das \(t\)-\(s\)- und das \(t\)-\(a\)-Diagramm für eine Periode in getrennten Koordinatensystemen (\(t\)-Achse: \(6\,{\rm{cm}} \buildrel \wedge \over = 1\,{\rm{s}}\); \(s\)-Achse: \(1\,{\rm{cm}} \buildrel \wedge \over = 10\,{\rm{cm}}\); \(a\)-Achse: \({\rm{2cm}} \buildrel \wedge \over = 10\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\)).

c)Während die Versuchsperson V mit der Geschwindigkeit \({v_0}\) durch die Gleichgewichtslage nach oben schwingt, soll ein zweiter Körper K mit der selben Geschwindigkeit \({v_0}\) nach oben geworfen werden.

Berechne, mit welcher Geschwindigkeit \({v_0}\) sich die Versuchsperson V durch die Gleichgewichtslage nach oben bewegt.

Zeichne in einem neuen Koordinatensystem das \(t\)-\(v\)-Diagramm des Körpers K ein.

Untersuche mit Hilfe des Diagramms, ob V oder K während der Aufwärtsbewegung die größere Geschwindigkeit hat.

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a)\[D = \frac{{\Delta F}}{{\Delta x}} = \frac{{m \cdot g}}{{\Delta x}} \Rightarrow D = \frac{{60\,{\rm{kg}} \cdot 9{,}81\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}}}{{0{,}25\,{\rm{m}}}} = 2400\,\frac{{\rm{N}}}{{\rm{m}}}\]

b)\[T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt {\frac{m}{D}} \Rightarrow T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt {\frac{{60{\rm{kg}}}}{{2400\frac{{\rm{N}}}{{\rm{m}}}}}} = 1{,}0\,{\rm{s}}\]

c) 

Wegen\[{v_{\rm{V}}}(t) = {s_0} \cdot \omega  \cdot \sin \left( {\omega  \cdot t} \right)\]beträgt der Scheitelwert\[{v_0} = {s_0} \cdot \omega  \Rightarrow {v_0} = 0{,}25\,{\rm{m}} \cdot \frac{{2 \cdot \pi }}{{1{,}0\,{\rm{s}}}} = 1{,}6\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]
Für einen lotrechten Wurf nach oben gilt\[{v_{\rm{K}}}(t) = {v_0} - g \cdot t\]Da der Körper K gleichzeitig mit der Versuchsperson V (d.h. zur Zeit \(t = \frac{T}{4}\)) die Gleichgewichtslage verlässt, gilt\[{v_{\rm{K}}}(t) = {v_0} - g \cdot \left( {t - \frac{T}{4}} \right)\]Für \(t = \frac{T}{2}\) ist somit\[{v_{\rm{K}}}\left( {\frac{T}{2}} \right) = {v_0} - g \cdot \left( {\frac{T}{2} - \frac{T}{4}} \right) = {v_0} - g \cdot \frac{T}{4} \Rightarrow {v_{\rm{K}}}\left( {\frac{T}{2}} \right) = 1,6\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} - 9,81\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot \frac{{1,0{\rm{s}}}}{4} =  - 0{,}85\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]Durch diese Berechnung erhält man einen zweiten Punkt zum Zeichnen des Graphen von \({v_{\rm{K}}}\left( t \right)\) (Gerade!). Zum Zeitpunkt \({{t^*}}\) kehrt der hochgeworfene Körper gerade wieder um. Aus dem Diagramm sieht man\[{\frac{T}{4} < t \le {t^*} \Rightarrow {v_{\rm{K}}} < {v_{\rm{V}}}}\]

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Mechanik

Mechanische Schwingungen