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Aufgabe

Schwingungsdauer eines Fadenpendels - Formelumstellung

Schwierigkeitsgrad: leichte Aufgabe

Um Aufgaben zur Schwingungsdauer eines Fadenpendels zu lösen musst du häufig die Gleichung \(T = 2 \cdot \pi  \cdot \sqrt {\frac{l}{g}} \) nach einer Größe auflösen, die unbekannt ist. Wie du das machen kannst, siehst du in der folgenden Animation.

Die Gleichung\[\color{Red}{T} = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{{l}}{{g}}}\]ist bereits nach \(\color{Red}{T}\) aufgelöst. Du brauchst also keine Umformungen durchzuführen.
Um die Gleichung\[{T} = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{\color{Red}{l}}{{g}}}\]nach \(\color{Red}{l}\) aufzulösen, musst du vier Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{\color{Red}{l}}{{g}}}={T}\]
Quadriere beide Seiten der Gleichung.
\[4 \cdot \pi^2 \cdot \frac{\color{Red}{l}}{{g}}={T}^2\]
Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit \({g}\).\[4 \cdot \pi^2 \cdot \color{Red}{l}={T}^2 \cdot {g}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \(4 \cdot \pi^2\).\[\color{Red}{l}=\frac{{T}^2 \cdot {g}}{4 \cdot \pi^2}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{l}\) aufgelöst.
Um die Gleichung\[{T} = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{{l}}{\color{Red}{g}}}\]nach \(\color{Red}{g}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Quadriere beide Seiten der Gleichung.
\[{T}^2 = 4 \cdot \pi^2 \cdot \frac{{l}}{\color{Red}{g}}\]
Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit \(\color{Red}{g}\).
\[{T}^2 \cdot \color{Red}{g} = 4 \cdot \pi^2 \cdot {l}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \({T}^2\).\[\color{Red}{g} = \frac{4 \cdot \pi^2 \cdot {l}}{{T}^2}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{g}\) aufgelöst.
Abb. 1 Schrittweises Auflösen der Formel für die Schwingungsdauer eines Fadenpendels nach den drei in der Formel auftretenden Größen
a)

An einem dünnen Faden mit der Länge \(5{,}00\,\rm{m}\), dessen Masse vernachlässigt werden kann, hängt eine kleine, schwere Kugel. Der Ortsfaktor hat den Wert \(9{,}81\,\frac{\rm{N}}{\rm{kg}}\).

Berechne die Schwingungsdauer dieses Fadenpendels.

b)

An einem Ort beträgt der Ortsfaktor \(9{,}82\,\frac{\rm{N}}{\rm{kg}}\). Ein Fadenpendel soll an diesem Ort eine Schwingungsdauer von \(2{,}00\,\rm{s}\) haben. Man nennt ein solches Pendel übrigens ein ‚Sekundenpendel’.

Berechne, welche Länge der Faden dieses Fadenpendels haben muss.

c)

Auf dem Mond wird von Astronauten die Fallbeschleunigung mit Hilfe eines Fadenpendels mit einer Fadenlänge von \(40{,}0\,\rm{cm}\) bestimmt. Sie messen die Schwingungsdauer \(3{,}12\,\rm{s}\).

Berechne aus den Messdaten den Wert der Fallbeschleunigung auf dem Mond.

Lösung einblendenLösung verstecken Lösung einblendenLösung verstecken
a)

Mit \(l=5{,}00\,\rm{m}\) und \(g=9{,}81\,\frac{\rm{N}}{\rm{kg}}=9{,}81\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2}\) nutzen wir die Formel für die Schwingungsdauer eines Fadenpendels\[T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt {\frac{l}{g}} \]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt {\frac{{5{,}00\,{\rm{m}}}}{9{,}81\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2}}} = 4{,}49\,\rm{s}\]

b)

Mit \(T=2{,}00\,\rm{s}\) und \(g=9{,}82\,\frac{\rm{N}}{\rm{kg}}=9{,}82\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2}\) erhalten wir mit der Formel für die Schwingungsdauer eines Fadenpendels\[T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt {\frac{l}{g}} \Rightarrow l = \frac{{{T^2} \cdot g}}{{4 \cdot {\pi ^2}}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[l = \frac{{{{\left( {2{,}00\,{\rm{s}}} \right)}^2} \cdot 9{,}82\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^2}}}}}{{4 \cdot {\pi ^2}}} = 0{,}995\,{\rm{m}}\]

c)

Mit \(T=3{,}12\,\rm{s}\) und \(l=40{,}0\,\rm{cm}=0,400\,\rm{m}\) erhalten wir mit der Formel für die Schwingungsdauer eines Fadenpendels\[T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt {\frac{l}{g}} \Rightarrow g = \frac{{4 \cdot {\pi ^2} \cdot l}}{{{T^2}}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[g = \frac{4 \cdot \pi^2 \cdot 0{,}400\,\rm{m}}{{{{\left( {3{,}12\,{\rm{s}}} \right)}^2}}} = 1{,}62\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2}\]

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Mechanik

Mechanische Schwingungen