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Aufgabe

Schwingung eines Federpendels

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Abb. 1 Proportionalität der Rückstellkraft eines Feder-Schwere-Pendels zu dessen Auslenkung

Eine Feder, deren Masse vernachlässigt werden kann, wird mit einem Körper der Masse \(100\,\rm{g}\) belastet und dehnt sich dadurch um \(4{,}00\,\rm{cm}\) (Zustand 0 in der Animation in Abb. 1).

a)Berechne die Härte \(D\) der Feder in der Einheit \(\frac{{\rm{N}}}{{\rm{m}}}\).

b)Nun wirkt von außen eine Kraft von \(1{,}50\,\rm{N}\) und dehnt die Feder weiter.

Berechne die zusätzliche Auslenkung der Feder, die hierdurch erreicht wird (Zustand 1 in der Animation in Abb. 1).

c)Aus dem Zustand 1 wird die Feder losgelassen. Unmittelbar nach dem Loslassen erfährt der Körper eine Beschleunigung.

Gib die Richtung dieser Beschleunigung an.

Berechne den Betrag dieser Beschleunigung.

d)Gib den den Betrag der Beschleunigung auf den Körper im Zustand 2 in der Animation in Abb. 1 an.

Berechne den Betrag der Geschwindigkeit des Körpers im Zustand 2.

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a)Für die Federhärte gilt\[D = \frac{{\Delta F}}{{\Delta y}} = \frac{{m \cdot g}}{{\Delta y}} \Rightarrow D = \frac{{0,100{\rm{kg}} \cdot 9,81\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{kg}}}}}}{{4,00 \cdot {{10}^{ - 2}}{\rm{m}}}} = 24,5\frac{{\rm{N}}}{{\rm{m}}}\]

b)Berechnung der zusätzlichen Auslenkung (vom Zustand 0 aus): \[\Delta {y^*} = \frac{{\Delta {F^*}}}{D} \Rightarrow \Delta {y^*} = \frac{{1,50{\rm{N}}}}{{24,5\frac{{\rm{N}}}{{\rm{m}}}}} = 6,12 \cdot {10^{ - 2}}{\rm{m}} = 6,12{\rm{cm}}\]

c)Die resultierende Kraft aus Federkraft \(\vec F_{\rm{F}}\) und Gewichtskraft \(\vec F_{\rm{G}}\) zeigt nach oben, somit ist auch die Beschleunigung nach oben gerichtet. Die resultierende Kraft wird auch als Rückstellkraft bezeichnet. Weiter gilt\[{F_{{\rm{res}}}} = {F_{\rm{F}}} - {F_{\rm{G}}} = D \cdot \left( {\Delta y + \Delta {y^*}} \right) - m \cdot g\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{F_{{\rm{res}}}} = 24,5\frac{{\rm{N}}}{{\rm{m}}} \cdot \left( {4,00 \cdot {{10}^{ - 2}}{\rm{m}} + 6,12 \cdot {{10}^{ - 2}}{\rm{m}}} \right) - 0,100{\rm{kg}} \cdot 9,81\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{kg}}}} = 1,50{\rm{N}}\]Damit ergibt sich für die Beschleunigung\[{F_{{\rm{res}}}} = m \cdot a \Leftrightarrow a = \frac{{{F_{{\rm{res}}}}}}{m} \Rightarrow a = \frac{{1,50{\rm{N}}}}{{0,100{\rm{kg}}}} = 15,0\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\]

d)Im Zustand 2 sind Federkraft und Gewichtskraft im Gleichgewicht, die resultierende Kraft und somit auch die Beschleunigung nehmen dann den Wert Null an.

Berechnung der Geschwindigkeit im Zustand 2 aus dem Energiesatz (als Nullniveau wird die Höhe des Zustandes 1 gewählt): \[{E_{{\rm{Spann}}{\rm{,1}}}} = {E_{{\rm{Spann}}{\rm{,2}}}} + {E_{{\rm{pot}}{\rm{,2}}}} + {E_{{\rm{kin}}{\rm{,2}}}} \Leftrightarrow {E_{{\rm{kin}}{\rm{,2}}}} = {E_{{\rm{Spann}}{\rm{,1}}}} - {E_{{\rm{Spann}}{\rm{,2}}}} - {E_{{\rm{pot}}{\rm{,2}}}}\]
Damit ergibt sich \[{E_{{\rm{kin}}{\rm{,2}}}} = \frac{1}{2} \cdot D \cdot {\left( {\Delta y + \Delta {y^*}} \right)^2} - \frac{1}{2} \cdot D \cdot {\left( {\Delta y} \right)^2} - m \cdot g \cdot \Delta {y^*}\] Einsetzen der gegebenen Werte liefert \[{E_{{\rm{kin}}{\rm{,2}}}} = \frac{1}{2} \cdot 24,5\frac{{\rm{N}}}{{\rm{m}}} \cdot {\left( {4,00 \cdot {{10}^{ - 2}}{\rm{m}} + 6,12 \cdot {{10}^{ - 2}}{\rm{m}}} \right)^2} - \frac{1}{2} \cdot 24,5\frac{{\rm{N}}}{{\rm{m}}} \cdot {\left( {4,00 \cdot {{10}^{ - 2}}{\rm{m}}} \right)^2} - 0,100{\rm{kg}} \cdot 9,81\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{kg}}}} \cdot 6,12 \cdot {10^{ - 2}}{\rm{m}}\] \[{E_{{\rm{kin}}{\rm{,2}}}} = 0,125{\mkern 1mu} {\rm{J}} - 0,0196{\mkern 1mu} {\rm{J}} - 0,0600{\mkern 1mu} {\rm{J}} = 0,0454{\mkern 1mu} {\rm{J}}\] Berechnung der Geschwindigkeit: \[{E_{{\rm{kin}}{\rm{,2}}}} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot {v_2}^2 \Rightarrow {v_2} = \sqrt {\frac{{2 \cdot {E_{{\rm{kin}}{\rm{,2}}}}}}{m}}  \Rightarrow {v_2} = \sqrt {\frac{{2 \cdot 0,0454{\rm{J}}}}{{0,100{\rm{kg}}}}}  = 0,95\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Mechanik

Mechanische Schwingungen