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Aufgabe

Feder-Rollen-Kombination

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

a)An eine Feder mit der Federkonstante \(20\,\frac{{\rm{N}}}{{\rm{m}}}\) wird ein Massestück der Masse \(500\,\rm{g}\) angehängt.

Berechne, um welche Streckenlänge sich dabei die Feder ausdehnt.

Berechne, wie groß die Schwingungsdauer dieses Federpendels ist.

b)An zwei gleichartige Federn der obigen Sorte wird nun wie im linken Bild eine (masse- und reibungslose) Rolle und wieder das Massestück mit der Masse \(500\,\rm{g}\) angehängt.

Berechne, um welche Streckenlänge sich nun die Federkombination ausdehnt.

Berechne, wie groß ist die Schwingungsdauer dieses Federpendels ist.

c)Eine der beiden Federn von Aufgabenteil b) wird nun wie im rechten Bild durch einen Faden ersetzt und wieder das Massestück mit der Masse \(500\,\rm{g}\) an die (masse- und reibungslose) Rolle angehängt.

Berechne, um welche Streckenlänge sich dabei die Rolle absenkt.

Berechne, wie groß ist die Schwingungsdauer dieses Federpendels ist.

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a)Im Gleichgewichtszustand ist die Federkraft betragsgleich der Gewichtskraft des Massestücks, d.h. es gilt \({F_{\rm{F}}} = {F_{\rm{G}}} = m \cdot g\). Mit \(D = 20\frac{{\rm{N}}}{{\rm{m}}}\) und \(m = 500{\rm{g}} = 0,500{\rm{kg}}\) erhält man\[{F_{\rm{F}}} = D \cdot s \Leftrightarrow s = \frac{{{F_{\rm{F}}}}}{D} = \frac{{m \cdot g}}{D} \Rightarrow s_{\rm{a)}} = \frac{{0,500{\rm{kg}} \cdot 9,8\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{kg}}}}}}{{20\frac{{\rm{N}}}{{\rm{m}}}}} = 0,25{\rm{m}}\]sowie\[T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt {\frac{m}{D}} \Rightarrow T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt {\frac{{0,500{\rm{kg}}}}{{20\frac{{\rm{N}}}{{\rm{m}}}}}} = 1,0{\rm{s}}\]

b)Aufgrund der angehängten Rolle wirkt auf jede Feder nun nur noch die halbe Gewichtskraft, so dass sich jede Feder auch nur noch um die halbe Streckenlänge von Aufgabenteil a) ausdehnt. Man erhält also \[{s_{{\rm{b)}}}} = \frac{1}{2} \cdot {s_{{\rm{a)}}}} = 0,12{\rm{m}}\]Damit hat die Federkombination die Federkonstante\[{D_{{\rm{b)}}}} = \frac{F}{{{s_{{\rm{b)}}}}}} = \frac{F}{{\frac{1}{2} \cdot {s_{{\rm{a)}}}}}} = 2 \cdot \frac{F}{{{s_{{\rm{a)}}}}}} = 2 \cdot D=40\frac{{\rm{N}}}{{\rm{m}}}\]und es ergibt sich\[{T_{{\rm{b)}}}} = 2 \cdot \pi  \cdot \sqrt {\frac{m}{{{D_{{\rm{b)}}}}}}}  \Rightarrow T_{\rm{b)}} = 2 \cdot \pi  \cdot \sqrt {\frac{{0,500{\rm{kg}}}}{{40\frac{{\rm{N}}}{{\rm{m}}}}}}  = 0,70{\rm{s}}\]

c)Aufgrund der angehängten Rolle wirkt auf die Feder wieder nur noch die halbe Gewichtskraft, so dass sich die Feder um die gleiche Streckenlänge wie in Aufgabenteil b) ausdehnt. Da sich der Faden aber nicht mit ausdehnt, senkt sich die Rolle nur um die halbe Streckenlänge von Aufgabenteil b), also um\[{s_{{\rm{c)}}}} = \frac{1}{2} \cdot {s_{{\rm{b)}}}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot {s_{{\rm{a)}}}} = \frac{1}{4} \cdot {s_{{\rm{a)}}}} = 0,063{\rm{m}}\]Damit hat die Feder-Faden-Kombination die Federkonstante\[{D_{{\rm{c)}}}} = \frac{F}{{{s_{{\rm{c)}}}}}} = \frac{F}{{\frac{1}{4} \cdot {s_{{\rm{a)}}}}}} = 4 \cdot \frac{F}{{{s_{{\rm{a)}}}}}} = 4 \cdot D = 80\frac{{\rm{N}}}{{\rm{m}}}\]und es ergibt sich\[{T_{{\rm{c)}}}} = 2 \cdot \pi  \cdot \sqrt {\frac{m}{{{D_{{\rm{c)}}}}}}}  \Rightarrow {T_{{\rm{c)}}}} = 2 \cdot \pi  \cdot \sqrt {\frac{{0,500{\rm{kg}}}}{{80\frac{{\rm{N}}}{{\rm{m}}}}}}  = 0,50{\rm{s}}\]

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Mechanik

Mechanische Schwingungen