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Aufgabe

Differentialgleichung der Schwingung eines Federpendels

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

a)Skizzieren Sie für den Fall einer nahezu ungedämpften mechanischen Schwingung (z.B. Schwingung eines Federpendels mit der Federhärte \(D\) in der nebenstehenden Skizze) in ein Diagramm den zeitlichen Verlauf von Auslenkung \(x(t)\) und Geschwindigkeit \(v(t)\) des Pendelkörpers und in einem zweiten Diagramm den zeitlichen Verlauf der (mechanischen) Energiekurven.

b)Leiten Sie aus dem Energiesatz der Mechanik die Differentialgleichung der freien, ungedämpften mechanischen Schwingung her.

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a) 

b)\[{E_{\rm{kin}}}(t) + {E_{\rm{pot}}}(t) = \rm{const.} \Rightarrow \frac{1}{2} \cdot m \cdot {v^2}(t) + \frac{1}{2} \cdot D \cdot {x^2}(t) = \rm{const.}\quad (1)\]Die Geschwindigkeitsfunktion ergibt sich aus der zeitlichen Ableitung der Ortsfunktion:\[v(t) = \dot x(t)\]Somit wird aus \((1)\)\[\frac{1}{2} \cdot m \cdot {\left( {\dot x} \right)^2} + \frac{1}{2} \cdot D \cdot {x^2} = \rm{const.}\quad (2)\]Differenziert man \((2)\) nach der Zeit (Kettenregel beachten!), so folgt\[\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot m \cdot \dot x \cdot \ddot x + \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot D \cdot x \cdot \dot x = 0 \Rightarrow \dot x \cdot \left( {\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot m \cdot \ddot x + \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot D \cdot x} \right) = 0\]
Da \({\dot x}\) nicht zu allen Zeiten Null ist, muss gelten\[m \cdot \ddot x + D \cdot x = 0\]Dies ist die Differentialgleichung der ungedämpften Federschwingung.

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Mechanik

Mechanische Schwingungen