Mechanik

Masse, Volumen und Dichte

Flächen- und Volumenberechnung

  • Was ist schwerer, 1 Kilogramm Federn oder 1 Kilogramm Blei?
  • Wie hat ARCHIMEDES die Krone des Hiero von Syrakus vermessen?

Flächen- und Volumenberechnung

Bei den Aufgaben zur Dichte lässt sich das Volumen mancher (sehr einfacher) Körper rechnerisch ermitteln. Im Folgenden sind die Formeln für einige wichtige Umfangs-, Flächen- und Volumenberechnungen angegeben.

Formeln für Umfang und Flächeninhalt von Figuren

Quadrat mit Seitenlänge \(a\)

\[\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{Umfang:}}\;\;\;{u_{\rm{Q}}} = 4 \cdot a}\\{{\rm{Flächeninhalt:}}\;\;\;{A_{\rm{Q}}} = {a^2}}\end{array}\]

Rechteck mit Seitenlängen \(a\) und \(b\)

\[\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{Umfang:}}\;\;\;{u_{\rm{R}}} = 2 \cdot a + 2 \cdot b = 2 \cdot \left( {a + b} \right)}\\{{\rm{Flächeninhalt:}}\;\;\;{A_{\rm{R}}} = a \cdot b}\end{array}\]

Dreieck mit Grundseitenlänge \(g\) und Höhe \(h\)

\[{\rm{Flächeninhalt:}}\;\;\;{A_{\rm{D}}} = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h\]

Kreis mit Radius \(r\)

\[\left. {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{Umfang:}}\;\;\;{u_{\rm{K}}} = 2 \cdot \pi  \cdot r}\\{{\rm{Flächeninhalt:}}\;\;\;{A_{\rm{K}}} = \pi  \cdot {r^2}}\end{array}} \right\}\;{\rm{mit}}\;\pi  \approx 3,14\]

Beachte, dass die Umrechnungszahl von einer Flächeneinheit zur benachbarten \(100\) ist.

Beispiele:
\[\begin{array}{*{20}{l}}{1{\rm{c}}{{\rm{m}}^2} = 100{\rm{m}}{{\rm{m}}^2}}&{1{\rm{m}}{{\rm{m}}^2} = \frac{1}{{100}}{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}}\\{1{\rm{d}}{{\rm{m}}^2} = 100{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}}&{1{\rm{c}}{{\rm{m}}^2} = \frac{1}{{100}}{\rm{d}}{{\rm{m}}^2}}\\{1{{\rm{m}}^2} = 100{\rm{d}}{{\rm{m}}^2}}&{1{\rm{d}}{{\rm{m}}^2} = \frac{1}{{100}}{{\rm{m}}^2}}\end{array}\]

Formeln für Oberflächeninhalt und Volumen von Körpern

Würfel mit Kantenlänge \(a\)

\[\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{Oberfläche:}}\;\;\;{O_{\rm{W}}} = 6 \cdot {a^2}}\\{{\rm{Volumen:}}\;\;\;{V_{\rm{W}}} = {a^3}}\end{array}\]

Quader mit Kantenlängen \(a\), \(b\) und \(c\)

\[\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{Oberfläche:}}\;\;\;{O_{\rm{Q}}} = 2 \cdot a \cdot b + 2 \cdot a \cdot c + 2 \cdot b \cdot c = 2 \cdot \left( {a \cdot b + a \cdot c + b \cdot c} \right)}\\{{\rm{Volumen:}}\;\;\;{V_{\rm{Q}}} = a \cdot b \cdot c}\end{array}\]

Kreiszylinder mit Radius \(r\) und Höhe \(h\)

\[\left. {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{Oberfläche:}}\;\;\;{O_{\rm{Z}}} = 2 \cdot \pi  \cdot {r^2} + 2 \cdot \pi  \cdot r \cdot h = 2 \cdot \pi  \cdot r \cdot \left( {r + h} \right)}\\{{\rm{Volumen:}}\;\;\;{V_{\rm{Z}}} = \pi  \cdot {r^2} \cdot h}\end{array}} \right\}\;{\rm{mit}}\;\pi  \approx 3,14\]

Kugel mit Radius \(r\)

\[\left. {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{Oberfläche:}}\;\;\;{O_{\rm{K}}} = 4 \cdot \pi  \cdot {r^2}}\\{{\rm{Volumen:}}\;\;\;{V_{\rm{K}}} = \frac{4}{3} \cdot \pi  \cdot {r^3}}\end{array}} \right\}\;{\rm{mit}}\;\pi  \approx 3,14\]

Beachte, dass die Umrechnungszahl von einer Volumeneinheit zur benachbarten \(1000\) ist.

Beispiele:
\[\begin{array}{*{20}{l}}{1{\rm{c}}{{\rm{m}}^3} = 1000{\rm{m}}{{\rm{m}}^3}}&{1{\rm{m}}{{\rm{m}}^3} = \frac{1}{{1000}}{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}}\\{1{\rm{d}}{{\rm{m}}^3} = 1000{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}}&{1{\rm{c}}{{\rm{m}}^3} = \frac{1}{{1000}}{\rm{d}}{{\rm{m}}^3}}\\{1{{\rm{m}}^3} = 1000{\rm{d}}{{\rm{m}}^3}}&{1{\rm{d}}{{\rm{m}}^3} = \frac{1}{{1000}}{{\rm{m}}^3}}\end{array}\]


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