Hinweis: Mit den folgenden Trainingsaufgaben sollst du Sicherheit im Umgang mit der "Dichte-Formel" gewinnen. Darüber hinaus kannst du die Umwandlung von Einheiten trainieren.
a)
Berechne die Dichte (in \({\frac{{\rm{g}}}{{{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}}\)) eines Materials, von dem ein Würfel mit der Kantenlänge \(17\,\rm{mm}\) die Masse \(35{,}2\,\rm{g}\) besitzt.
b)
Berechne die Masse von \(0{,}53\,\ell \)Dieselöl (\({\rho = 0{,}86\,\frac{{\rm{g}}}{{{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}}\)).
c)
Berechne das Volumen eines Körper aus Aluminium (\({\rho = 2{,}7\,\frac{{\rm{kg}}}{{{\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}}\)), dessen Masse \(370\,\rm{g}\) ist.
d)
Die Tragfähigkeit eines Güterwagens der Bundesbahn sei \(25\,\rm{t}\), seine Ladefläche \(25\,\rm{m^2}\).
Berechne, wie hoch Sand (\({\rho = 1{,}5\,\frac{{\rm{g}}}{{{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}}\)) in den Güterwagen eingefüllt werden darf. Nimm dabei an, dass die Ladung eine Quaderform hat.
e)
Sirius B ist ein Stern, der zur Klasse der "weißen Zwerge" gehört. Er hat eine Dichte von ca. \({\rho = {{10}^6}\frac{{\rm{g}}}{{{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}}\).
Berechne das Volumen eines Menschen mit \(75\,\rm{kg}\), wenn er aus dem Material wie Sirius B bestände.
\[V={a^3}\Rightarrow V = \left( 17\,\rm{mm}\right)^{3} = \left( 1{,}7\,\rm{cm}\right)^{3} = 4{,}9\,\rm{cm}^{3}\]Berechnung der Dichte:\[\rho = \frac{m}{V} \Rightarrow \rho = \frac{{35{,}2\,{\rm{g}}}}{{4{,}9\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}} = 7{,}2\,\frac{{\rm{g}}}{{{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\]Das Material hat eine Dicht von etwa \(7{,}2\,\rm{\frac{g}{cm^3}}\).
b)
Berechnung der Masse
Beachte: \(1\,\ell = 1000\,{\rm{cm}}^{\rm{3}}\):\[\rho = \frac{m}{V} \Leftrightarrow m = \rho \cdot V\]\[\Rightarrow m = 0{,}86\,\frac{{\rm{g}}}{{\rm{cm}}^{\rm{3}}} \cdot 530\,{{\rm{cm}}^{3}} = 460\,\rm{g} = 0{,}46\,{\rm{kg}}\]Das Öl hat die Masse von ca. \(0{,}46\,\rm{kg}\).
c)
Berechnung des Volumens des Aluminiumkörpers
\[\rho = \frac{m}{V} \Leftrightarrow V = \frac{m}{\rho }\]\[\Rightarrow V = \frac{{0{,}370\,{\rm{kg}}}}{{2{,}7\,\frac{{{\rm{kg}}}}{{{\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}}} = 0{,}14\,{\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\]Das Aluminium hat ein Volumen von \(0{,}14\,\rm{dm^3}\).
d)
Berechnung des Volumens der Ladung
\[\rho = \frac{m}{V} \Leftrightarrow V = \frac{m}{\rho }\]\[\Rightarrow V = \frac{{25 \cdot {{10}^3}\,{\rm{kg}}}}{{1{,}5 \cdot {{10}^3}\,\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}}} = 17\,{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\]Berechnung der Füllhöhe:\[V = A \cdot h \Leftrightarrow h = \frac{V}{A}\]\[\Rightarrow h = \frac{{17\,{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}{{25\,{{\rm{m}}^{\rm{2}}}}} = 0{,}68\,{\rm{m}}\]Der Güterwagen darf bis zu einer Höhe von \(0{,}68\,\rm{m}\) beladen werden.
e)
Volumen eines Menschen auf Sirius B
\[\rho = \frac{m}{V} \Leftrightarrow V = \frac{m}{\rho }\]\[\Rightarrow V = \frac{{75\,{\rm{kg}}}}{{1 \cdot {{10}^3}\frac{{{\rm{kg}}}}{{{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}}} = 0{,}08\,{{\rm{cm}}^{\rm{3}}}\]Der Mensch aus dem Material von Sirius B hätte ein Volumen von ca. acht Hunderstel Kubikzentimeter.
