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Aufgabe

Trainingsaufgaben zu Masse, Volumen und Dichte

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Hinweis: Mit den folgenden Trainingsaufgaben sollst du Sicherheit im Umgang mit der "Dichte-Formel" gewinnen. Darüber hinaus kannst du die Umwandlung von Einheiten trainieren.

a)Berechne die Dichte (in \({\frac{{\rm{g}}}{{{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}}\)) eines Materials, von dem ein Würfel mit der Kantenlänge \(17\rm{mm}\) die Masse \(35,2\rm{g}\) besitzt.

b)Berechne die Masse von \(0,53\ell \) Dieselöl (\({\rho  = 0,86\frac{{\rm{g}}}{{{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}}\)).

c)Berechne das Volumen eines Körper aus Aluminium (\({\rho  = 2,7\frac{{\rm{kg}}}{{{\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}}\)), dessen Masse \(370\rm{g}\) ist.

d)Die Tragfähigkeit eines Güterwagens der Bundesbahn sei \(25\rm{t}\), seine Ladefläche \(25\rm{m^2}\).

Berechne, wie hoch Sand (\({\rho  = 1,5\frac{{\rm{g}}}{{{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}}\)) in den Güterwagen eingefüllt werden darf. Nimm dabei an, dass die Ladung eine Quaderform hat.

e)Sirius B ist ein Stern, der zur Klasse der "weißen Zwerge" gehört. Er hat eine Dichte von ca. \({\rho  = {{10}^6}\frac{{\rm{g}}}{{{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}}\).

Berechne das Volumen eines Menschen mit \(75\rm{kg}\), wenn er aus dem Material wie Sirius B bestände.

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a)Berechnung des Volumens:\[V = {a^3} \Rightarrow V = {(17{\rm{mm}})^{\rm{3}}} = {\rm{4}},{\rm{9}} \cdot {\rm{1}}{{\rm{0}}^{\rm{3}}}{\rm{m}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}} = {\rm{4}},{\rm{9c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\]Berechnung der Dichte:\[\rho  = \frac{m}{V} \Rightarrow \rho  = \frac{{35,2{\rm{g}}}}{{4,9{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}} = 7,2\frac{{\rm{g}}}{{{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\]Das Material hat eine Dicht von etwa \(7,2 \rm{\frac{g}{cm^3}}\).

b)Beachte: \(1\ell  = 1000{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\):\[\rho  = \frac{m}{V} \Leftrightarrow m = \rho  \cdot V \Rightarrow m = 0,86\frac{{\rm{g}}}{{{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}} \cdot 0,53 \cdot {10^3}{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}} = 0,46 \cdot {10^3}{\rm{g}} = 0,46{\rm{kg}}\]Das Öl hat die Masse von ca. \(0,46 \rm{kg}\).

c)\[\rho  = \frac{m}{V} \Leftrightarrow V = \frac{m}{\rho } \Rightarrow V = \frac{{0,370{\rm{kg}}}}{{2,7\frac{{{\rm{kg}}}}{{{\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}}} = 0,14{\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\]Das Aluminium hat ein Volumen von \(0,14 \rm{dm^3}\).

d)Berechnung des Volumens der Ladung:\[\rho  = \frac{m}{V} \Leftrightarrow V = \frac{m}{\rho } \Rightarrow V = \frac{{25 \cdot {{10}^3}{\rm{kg}}}}{{1,5 \cdot {{10}^3}\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}}} = 17{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\]Berechnung der Füllhöhe:\[V = A \cdot h \Leftrightarrow h = \frac{V}{A} \Rightarrow h = \frac{{17{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}{{25{{\rm{m}}^{\rm{2}}}}} = 0,68{\rm{m}}\]Der Güterwagen darf bis zu einer Höhe von \(0,68 \rm{m}\) beladen werden.

e)\[\rho  = \frac{m}{V} \Leftrightarrow V = \frac{m}{\rho } \Rightarrow V = \frac{{75{\rm{kg}}}}{{1 \cdot {{10}^3}\frac{{{\rm{kg}}}}{{{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}}} = 0,08{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\]Der Mensch aus dem Material von Sirius B hätte ein Volumen von ca. acht Hunderstel Kubikzentimeter.