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Aufgabe

Schnee auf dem Dach

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

CC0/Simon, www.pixabay.com

Frisch gefallener Schnee hat die Dichte \(0,20\frac{{\rm{g}}}{{{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\), Eis die Dichte \(0,92\frac{{\rm{g}}}{{{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\) und Wasser die Dichte \(1,00\frac{{\rm{g}}}{{{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\).

a)Berechne die Masse und die Gewichtskraft einer \(30\rm{cm}\) dicken Schicht frisch gefallenen Schnees auf einem Flachdach von \(20\rm{m}\) Länge und \(10\rm{m}\) Breite. Rechne mit \(g=10\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{kg}}}}\).

b)Berechne, wie viel Liter Wasser entstehen, wenn dieser Schnee schmilzt. Die Masse der Luft im Schnee ist zu vernachlässigen.

c)Berechne, wie viel \({{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}\) Luft in einem \({{\rm{1d}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}\) Schnee enthalten sind. Hinweis: In Schnee liegt Wasser als Eis vor, die Masse der Luft im Schnee ist wieder zu vernachlässigen.

Im Winter 2005/6 entstand in Ostbayern durch ungünstige Witterungsverhältnisse eine Katastrophen-Situation: Auf den Hausdächern türmte sich eine sehr nasser Schnee von beträchtlicher Höhe, so dass manche Dachkonstruktion der Schneelast nicht mehr standhalten konnte. Während man im Normalfall mit einer Schneelast von maximal \(150\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^2}}}\) (Flächenbelastung) rechnet, betrug die Belastung durch den Nassschnee in diesem Katastrophen-Winter bis zu \(320\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^2}}}\).

d)Gehe davon aus, dass der Nassschnee das nebenstehende Dach mit \(320\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^2}}}\) belastete und etwa \(60\rm{cm}\) hoch lag.
Berechne daraus die Dichte des Nassschnees in \(\frac{{\rm{g}}}{{{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}}}\).

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a)Frisch gefallener Schnee hat die Dichte \(\rho_{\rm{Schnee}}  = 0,20\frac{{\rm{g}}}{{{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}} = 0,20\frac{{{\rm{kg}}}}{{{\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}} = 0,20 \cdot {10^3}\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\). Mit\[V = h \cdot l \cdot b \Rightarrow V = 0,30{\rm{m}} \cdot 20{\rm{m}} \cdot 10{\rm{m}} = 60{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\]ergibt sich\[m = \rho_{\rm{Schnee}}  \cdot V \Rightarrow m = 0,20 \cdot {10^3}\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}} \cdot 60{{\rm{m}}^{\rm{3}}} = {\rm{12}} \cdot {\rm{1}}{{\rm{0}}^{\rm{3}}}{\rm{kg}} = 12{\rm{t}}\]und damit\[{F_{\rm{G}}} = m \cdot g \Rightarrow {F_{\rm{G}}} = 12 \cdot {10^3}{\rm{kg}} \cdot 10\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{kg}}}} = 12 \cdot {10^4}{\rm{N}} = 1,2 \cdot {10^5}{\rm{N}}\]

b)Bei der Umwandlung von Schnee in Wasser bleibt die Masse erhalten. Mit \(m = {\rm{12}} \cdot {\rm{1}}{{\rm{0}}^{\rm{3}}}{\rm{kg}}\) und \({\rho _{{\rm{Wasser}}}} = 1,00\frac{{{\rm{kg}}}}{{{\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\) ergibt sich\[m = {\rho _{{\rm{Wasser}}}} \cdot {V_{{\rm{Wasser}}}} \Leftrightarrow {V_{{\rm{Wasser}}}} = \frac{m}{{{\rho _{{\rm{Wasser}}}}}} \Rightarrow {V_{{\rm{Wasser}}}} = \frac{{12 \cdot {{10}^3}{\rm{kg}}}}{{1,00\frac{{{\rm{kg}}}}{{{\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}}} = 12 \cdot {10^3}{\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}} = 12{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\]

c)In den \(60{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\) Schnee befinden sich \({12 \cdot {{10}^3}{\rm{kg}}}\) Wasser in Form von Eis. Dieses Eis hat das Volumen\[m = {\rho _{{\rm{Eis}}}} \cdot {V_{{\rm{Eis}}}} \Leftrightarrow {V_{{\rm{Eis}}}} = \frac{m}{{{\rho _{{\rm{Eis}}}}}} \Rightarrow {V_{{\rm{Eis}}}} = \frac{{12 \cdot {{10}^3}{\rm{kg}}}}{{0,92\frac{{{\rm{kg}}}}{{{\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}}} = 13 \cdot {10^3}{\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}} = 13{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\]Somit befinden sich in den \(60{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\) Schnee \(60{{\rm{m}}^{\rm{3}}} - 13{{\rm{m}}^{\rm{3}}} = 47{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\) Luft und damit in \({{\rm{1d}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}\) Schnee \({\frac{{47{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}{{60{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}} \cdot {\rm{1d}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}} = 0,78{\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}} = 780{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}\) Luft.

d)Berechnung des Schneevolumens über einem Quadratmeter Grundfläche:\[V = A \cdot h \Rightarrow V = 1,0{{\rm{m}}^{\rm{2}}} \cdot 0,60{\rm{m}} = 0,60{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\]Berechnung der Dichte des Nassschnees:\[{\rho _{{\rm{Nassschnee}}}} = \frac{m}{V} \Rightarrow {\rho _{{\rm{Nassschnee}}}} = \frac{{320{\rm{kg}}}}{{0,60{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}} = 0,53 \cdot {10^3}\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}} = 0,53\frac{{\rm{g}}}{{{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\]Die Dichte des Nassschnees ist also mehr als doppelt so hoch wie die des Neuschnees.