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Aufgabe

Hans im Glück

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

Hinweis: Die Idee zu dieser Aufgabe stammt von K. Beuche.

Auszug aus dem Märchen "Hans im Glück" der Gebrüder Grimm:

"Hans hat sieben Jahre bei seinem Herrn gedient, da sprach der zu ihm: "Herr, meine Zeit ist herum, nun wollte ich gern wieder heim zu meiner Mutter, gebt mir meinen Lohn." Der Herr antwortete: "Du bist mir treu und ehrlich gewesen: wie der Dienst war, so soll der Lohn sein", und gab ihm ein Stück Gold, das so groß als Hansens Kopf war. Hans zog sein Tüchlein aus der Tasche, wickelte den Klumpen hinein, setzt ihn auf die Schulter und machte sich auf den Weg nach Hause."

Schätze die Masse des Goldklumpens, den Hans als Lohn bekam, vernünftig ab. Nimm dabei an, dass Hans ca. 20 Jahre alt war, und eine normale Kopfgröße hatte.

Tipp: Mit  Flächen - und Volumenberechnung und Dichten verschiedener Materialien und Kenntnis über die Dichte, lässt sich die Aufgabe lösen. Ihr könnt die benötigte Formeln und den benötigten Wert natürlich aus jeder beliebigen Quelle recherchieren.

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Abschätzung des Kopfvolumens:

Eine Messung ergab, dass der Umfang des Kopfes z.B. \(u = 58\rm{cm}\) ist. Für den Umfang eines Kreises gilt \( u = 2 \cdot \pi \cdot r \) und somit\[u = 2 \cdot \pi  \cdot r \Leftrightarrow r = \frac{u}{{2 \cdot \pi }} \Rightarrow r = \frac{{58{\rm{cm}}}}{{2 \cdot \pi }} = 9,2{\rm{cm}} = 0,92{\rm{dm}}\]Für das Kugelvolumen gilt dann\[V = \frac{4}{3} \cdot \pi  \cdot {r^3} \Rightarrow V = \frac{4}{3} \cdot \pi  \cdot {\left( {0,92{\rm{dm}}} \right)^3} = {\rm{3}},{\rm{3d}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\]

Berechnung der Masse des Goldklumpens:

Die Dichte von Gold ist  \( 19,3\rm{\frac{kg}{dm^3}} \). Damit ergibt sich\[m = \rho  \cdot V \Rightarrow m = 19,3\frac{{{\rm{kg}}}}{{{\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}} \cdot 3,3{\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}} = {\rm{64kg}}\]Es dürfte Hans ziemlich schwer gefallen sein, den Goldklumpen "locker" auf die Schulter zu schwingen.

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Mechanik

Masse, Volumen und Dichte