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Aufgabe

Am Holzwerk

Schwierigkeitsgrad: leichte Aufgabe

Am Tor eines Holzwerkes sind die Dichten verschiedener Holzarten für frisch gefällte Bäume angegeben:

Fichte: \(\rho=800\,\rm{\frac{kg}{m^3}}\),  Tanne: \(\rho=900\,\rm{\frac{kg}{m^3}}\),   Buche: \(\rho=1100\,\rm{\frac{kg}{m^3}}\)

a)

Ein Holztransporter hat \(30\,\rm{m^3}\) Holz einer Art geladen. Im Holzwerk wird mit einer Waage die Masse des geladenen Holzes bestimmt. Der Transporter hat \(m=27000\,\rm{kg}\) Holz geladen. 

Entscheide mit Hilfe einer Rechnung zur Ermittlung der Dichte, welche Art Holz der Transporter geladen hat.

b)

Der Stamm einer frisch geschlagenen Buche hat im Durchschnitt ein Volumen von \(V=0{,}60\,\rm{m^3}\).

Berechne die Masse \(m\) des Holzstammes. Bestimme weiter, wie viele Holzstämme ein LKW maximal aufladen darf, wenn der LKW \(19800\,\rm{kg}\) aufladen darf.

c)

Wie viel Kubikmeter Fichtenholz darf eine LKW maximal aufladen, wenn der LKW \(20000\,\rm{kg}\) zuladen darf?

d)

Vor dem Holzwerk stoppt die Polizei einen LKW mit Buchenholz. Laut den Fahrzeugpapieren darf der LKW insgesamt \(27000\,\rm{kg}\) Holz zuladen. Die Polizisten vermessen grob die Außenmaße der Ladung und stellen dabei folgendes fest: Die Ladung ist \(5{,}0\,\rm{m}\) lang, \(2{,}0\,\rm{m}\) breit und \(2{,}5\,\rm{m}\) hoch.

Begründe, ob der LKW-Fahrer zu viel Holz aufgeladen hat und eine Strafe bekommt oder ob die Polizei den LKW weiterfahren lassen kann.

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a)

Für die Dichte gilt \(\rho=\frac{m}{V}\). Somit ergibt sich hier\[\rho=\frac{27000\,\rm{kg}}{30\,\rm{m^3}}=900\,\rm{\frac{kg}{m^3}}\]Der LKW hat also Tannenholz geladen.

b)

Zur Bestimmung der Masse musst du die Formel \(\rho=\frac{m}{V}\) nach \(m\) umstellen:\[\rho=\frac{m}{V}\Leftrightarrow m=\rho\cdot V\]Einsetzen der gegebenen Werte führt zu \[m=1100\,\rm{kg}\cdot 0{,}60\,\rm{m^3}=660\,\rm{kg}\] Ein frisch geschlagener Buchenstamm besitzt also eine Masse von etwa \(660\,\rm{kg}\).

Um die Anzahl \(n\) der maximal aufzuladenden Stämme zu bestimmen, musst du die erlaubte Zuladung durch die Masse eines Stammes teilen:\[n=\frac{19800\,\rm{kg}}{660\,\rm{kg}}=30\]Der LKW darf also maximal 30 solcher Buchenstämme aufladen.

c)

Zur Bestimmung des Volumens musst du die Formel \(\rho=\frac{m}{V}\) nach \(V\) umstellen:\[\rho=\frac{m}{V}\Leftrightarrow V=\frac{m}{\rho}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[V=\frac{20000\,\rm{kg}}{800\,\rm{\frac{kg}{m^3}}}=25\,\rm{m^3}\]Der LKW darf also maximal ein Volumen von \(25\,\rm{m^3}\) Fichtenholz aufladen.

d)

Das Volumen der Ladung beträgt \[V=l\cdot b\cdot h\Rightarrow V= 5{,}0\,\rm{m}\cdot 2{,}0\,\rm{m}\cdot 2{,}5\,\rm{m}=25\,\rm{m^3}\]Wenn dieses Volumen komplett mit Buchenholz ausgefüllt ist, dann ergibt sich eine Gesamtmasse von\[m=\rho\cdot V\Rightarrow m=1100\,\rm{\frac{kg}{m^3}}\cdot 25\,\rm{m^3}=27500\,\rm{kg}\]Damit hätte der LKW etwas zu viel aufgeladen. Da Holzstämme aber rund sind und sich so auch Luft in dem von der Polizei bestimmten Volumen befindet, wird die tatsächlich geladene Holzmasse geringer sein.

Daher kann die Polizei den LKW ohne Strafe weiterfahren lassen.

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Mechanik

Masse, Volumen und Dichte