Lineare Bewegung - Gleichungen

Bei der diesjährigen Landheimmeisterschaft in Holzhausen haben sich die berühmten Sprinter Flink und Hurtig zum 100-m-Lauf gemeldet. Zum Training treten die beiden Sportler am Vorabend der entscheidenden Wettkämpfe zu einem Dauerlauf an.

• Flink benötigt für 3000 m die Zeit 8 min 5,36 s,

• Hurtig läuft 5000 m und braucht dafür 12 min 58,39 s.

Als aufmerksame Physikschüler wissen beide aus der 8. Klasse noch, dass die Geschwindigkeit der Quotient aus Weg und Zeit ist. Sie berechnen für Flink
\[v \approx 6,424\frac{m}{s} \approx 23,12\frac{{km}}{h}\]
Hurtig ist damit eindeutig Sieger, da er im Mittel 6,424 m, Flink dagegen nur 6,181 m pro Sekunde zurücklegt.

Bei dem entscheidenden 100-m-Lauf am nächsten Tag sind längs der Aschenbahn Lichtschranken im 10m - Abstand aufgebaut um die Zwischenzeiten zu messen. Die Messergebnisse für unsere beiden Sportler sind in der folgenden Tabelle festgehalten. Mit Δt werden die erforderlichen Zeitspannen für die einzelnen Teilstrecken der Länge Δs = 10 m bezeichnet.

Anmerkung: Das Zeichen Δ steht immer dann vor einer physikalischen Größe, wenn man zum Ausdruck bringen will, dass es sich um eine Differenz handelt: Δt = t₂ - t_{1  bzw.}  Δs = s(t₂) - s(t₁).

Auch ohne die Geschwindigkeiten zu berechnen  kann man aus der Tabelle ersehen: Hurtig ist der Sieger.

War er jedoch wirklich der schnellere?

Die für den Sieg entscheidende Geschwindigkeit ist die mittlere Geschwindigkeit oder Durchschnittsgeschwindigkeit; um deutlich zu machen, dass es sich um eine Durchschnittsgeschwindigkeit handelt ergänzt man üblicherweise über dem v einen Querstrich oder schreibt <v>.
\[{\overline v _{Hurtig}} = \frac{{100m}}{{9,83s}} \approx 10,2\frac{m}{s}\;{\overline v _{Flink}} = \frac{{100m}}{{9,93s}} \approx 10,1\frac{m}{s}\]
Würde sich ein Sportler mit der konstanten Geschwindigkeit von 10,2 m/s bewegen, so würde er wie Hurtig die 100m in 9,83 s bewältigen. Wie aus der Tabelle zu ersehen ist, sind die Geschwindigkeiten der beiden Sportler während des Laufs nicht immer gleich. Zwischen den Wegmarken s₁= 60 m und s₂ =70 m ist sogar Flink der schnellere Läufer. Hier gilt:
\[{\overline v _{Flink}} = \frac{{{s_2} - {s_1}}}{{{t_2} - {t_1}}} = \frac{{\Delta s}}{{\Delta t}} = \frac{{10m}}{{0,82s}} \approx 12,2\frac{m}{s}\;{\overline v _{Hurtig}} = .... = \frac{{10m}}{{0,83s}} \approx 12,0\frac{m}{s}\]
Diese Geschwindigkeiten sind dabei immer noch Mittelwerte, es sind die Durchschnittsgeschwindigkeiten auf der Messstrecke ( Δs = 10 m) zwischen s₁= 60 m und s₂ =70 m. Macht man jedoch die Messstrecken Δs immer kleiner, so ist es immer weniger möglich, dass sich die Geschwindigkeit innerhalb der Messstrecke noch verändern kann. Bei genügend kleiner Messstrecke ist die Durchschnittsgeschwindigkeit gleich der Momentangeschwindigkeit v.
Wir legen also fest:

Die Momentangeschwindigkeit v ist gleich dem Quotienten aus Δs und Δt bei hinreichend kleinem Δs.

Anmerkung: Vielfach findet man folgende Definition der Momentangeschwindigkeit: Will man die Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt t₀ berechnen, so muss man die Messstrecke Δs und damit das Zeitintervall Δt so lange weiter verkleinern, bis es im "Grenzübergang" schließlich 0s wird. Man schreibt hierfür:
\[v\left( {{t_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \frac{{\Delta s}}{{\Delta t}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to {t_0}} \frac{{s\left( {{t_0}} \right) - s\left( t \right)}}{{{t_0} - t}}\]
Dabei steht "lim" für "limes" (Grenzwert) und bedeutet, dass das Zeitintervall Δt gegen 0 gehen soll. Das Ergebnis der Berechnung heißt Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt t₀. Diese Definition ist zwar mathematisch einwandfrei, physikalisch jedoch nicht sinnvoll! Dies sollen Sie sich nun am Beispiel unserer Läufer Flink und Hurtig überlegen.

Aufgabe

Um bessere Werte für die Momentangeschwindigkeiten zu erhalten werden die Messstrecken \(\Delta s\) und damit auch die Zeitintervalle \(\Delta t\) verkleinert. Zu diesem Zweck sponsert eine Elektronik - Firma ein sehr aufwendiges System der Messwerterfassung. Entlang der 100-m-Strecke sind die Lichtschranken in Abständen von \(\Delta s = 5\rm{mm}\)  angeordnet.

Schätze die für diese Messstrecke erforderliche Zeit \(\Delta t\) ab und vergleiche diese mit der Messgenauigkeit bei der Zeitmessung. Untersuche, ob sich die Anschaffung der 20001 Lichtschranken gelohnt hat.