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Aufgabe

Start eines Jumbo-Jets

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Ein vollbeladener Jumbo-Jet habe die Masse von \(320\,\rm{t}\). Beim Start hebt die Maschine nach ca. \(51\,\rm{s}\) mit einer Geschwindigkeit von \(310\,\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\) von der Bahn ab. Es werde angenommen, dass beim Start eine geradlinige, gleichmäßig beschleunigte Bewegung vorliegt.

a)Berechne die Strecke, die das Flugzeug bis zum Abheben zurücklegt.

b)Gib die resultierende Kraft \({F_{{\rm{res}}}}\) an, die in der Startphase auf das Flugzeug wirken muss.

c)Der Hersteller gibt an, dass die vier Triebwerke einen Vorwärtsschub von \(F_{\rm{Schub}} = 880\,\mathrm{kN}\)  liefern. Erläutere, welche Einflüsse während des Starts für den Unterschied zwischen\({F_{{\rm{res}}}}\) und \(F_{\rm{Schub}}\) verantwortlich sind. Gehe dabei insbesondere auf den Beginn und das Ende der Startphase ein.

d) Kurz nach Beginn der Startphase fällt ein Triebwerk aus. Untersuche rechnerisch, ob die \(4000\,\rm{m}\) lange Startbahn zum Abheben noch ausreichen wird.

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a)Berechnung der Strecke bis zum Abheben: gleichmäßig beschleunigte Bewegung ohne Anfangsgeschwindigkeit
gegeben: \(t = 51{\rm{s}}\) ; \(v = 310\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}} = \frac{{310}}{{3,6}}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} = 86,1\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\)
gesucht: \(a\)
\[v = a \cdot t \Leftrightarrow a = \frac{v}{t} \Rightarrow a = \frac{{86,1\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{51{\rm{s}}}} = 1,7\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\]
gesucht: \(s\)
\[v = \sqrt {2 \cdot a \cdot s}  \Rightarrow s = \frac{{{v^2}}}{{2 \cdot a}} \Rightarrow s = \frac{{{{\left( {86,1\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)}^2}}}{{2 \cdot 1,7\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}}} = 2,2{\rm{km}}\]

b)Nach dem 2 Axiom von NEWTON gilt
\[{F_{{\rm{res}}}} = m \cdot a \Rightarrow {F_{{\rm{res}}}} = 320 \cdot {10^3}{\rm{kg}} \cdot 1,7\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} = 5,44 \cdot {10^5}{\rm{N}} = 544{\rm{kN}}\]

c)Der Schubkraft wirken im Wesentlichen zwei Kräfte entgegen: Die Rollreibungskraft \({F_{{\rm{RR}}}}\) und die Luftwiderstandskraft \({F_{{\rm{LR}}}}\). Sie betragen zusammen \(880 \rm{kN} - 544 \rm{kN} = 336 \rm{kN} \).
Zu Beginn der Startphase dominiert die Rollreibungskraft gegenüber der Luftwiderstandskraft, da die Geschwindigkeit noch nicht sehr groß und damit die Luftwiderstandskraft noch klein ist.
Am Ende der Startphase dominiert aufgrund der hohen Geschwindigkeit die Luftwiderstandskraft. Wegen des nun schon einsetzenden Auftriebs ist die Rollreibungskraft vermindert.

d)Wenn ein Triebwerk von den insgesamt vier Triebwerken ausfällt, so beträgt die Schubkraft nur noch drei Viertel von \(880\rm{kN}\), also \(660\rm{kN}\). Zur Vereinfachung werde angenommen, dass die bewegungshindernden Kräfte genauso groß sind wie in Teilaufgabe c) berechnet. Dann gilt:
\[F_{{\rm{res}}}^ *  = 660{\rm{kN}} - 330{\rm{kN}} = 330{\rm{kN}}\]
Mit dieser verminderten resultierenden Kraft ergibt sich nach dem 2. Axiom von NEWTON die verminderte Beschleunigung \(a^*\):
\[F_{{\rm{res}}}^ *  = m \cdot {a^ * } \Leftrightarrow {a^ * } = \frac{{F_{{\rm{res}}}^ * }}{m} \Rightarrow {a^ * } = \frac{{330 \cdot {{10}^3}{\rm{N}}}}{{320 \cdot {{10}^3}{\rm{kg}}}} = 1,03\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\]
Mit dieser verminderten Beschleunigung muss die Startgeschwindigkeit \(86,1\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) erreicht werden:
\[v = \sqrt {2 \cdot a \cdot {s^ * }}  \Rightarrow {s^ * } = \frac{{{v^2}}}{{2 \cdot {a^ * }}} \Rightarrow {s^ * } = \frac{{{{(86,1\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}})}^2}}}{{2 \cdot 1,03\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}}} = 3,6{\rm{km}}\]
Die Startbahn reicht gerade aus. Allerdings bestehen dann keine Sicherheitsreserven mehr für eine eventuelle Notbremsung.

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Mechanik

Lineare Bewegung - Gleichungen