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Aufgabe

Reisezeiten

Schwierigkeitsgrad: leichte Aufgabe

Auf sehr kurzen Strecken unter \(10\,\rm{km}\) ist der Radfahrer schnell und benötigt wenig Energie. Trotzdem nutzen wir häufig motorisierte Fahrzeuge auch auf Kurzstrecken, weil es schnell und bequem ist. Längere Wochenendausflüge machen wir trotz Stau mit dem Auto, weil wir spontan von zuhause losfahren können und nicht Fahrpläne der Bahn beachten müssen. Für die weiteren Strecken gibt es preisgünstige Flugtickets mit Hotelurlaub im sonnigen Süden. Überlegungen zu den tatsächlichen Reisezeiten werden dabei selten angestellt.

Abb. 1 Reisezeiten verschiedener konkurrierender Verkehrsmittel

In dem Zeit-Weg-Diagramm in Abb. 1 sind typische Graphen für verschiedene Verkehrsmittel vergleichend dargestellt. Du sollst aus dem Diagramm Informationen entnehmen. Die farbig markierten Bereiche geben allerdings nur grobe Richtwerte für die in einer bestimmten Zeit zurückgelegten Strecken an.

a)Die bräunliche Gerade gehört zu einem Intercityexpress (ICE).

Berechne, von welcher Durchschittsgeschwindigkeit in dem Diagramm für den ICE ausgegangen wird.

Erläutere, warum sich für keine Ursprungsgerade ergibt.

b)Berechne, in welchen Geschwindigkeitsintervallen die dargestellten Pkw bzw. die Bahn liegen.

c)Erläutere, warum sich für ein Flugzeug eine gekrümmte Kurve ergibt.

d)Entnimm aus dem Diagramm einen Näherungswert für die Reisegeschwindigkeit für das Flugzeug.

e)Ermittle aus dem Diagramm, ab welchen Strecken eine Flugreise zeitlich günstiger ist als eine Autofahrt.

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a)Der ICE legt im Zeitintervall \(\left[ {0{,}5\,{\rm{h}}\;;\,2{,}5\,{\rm{h}}} \right]\) eine Strecke von \(400\,\rm{km}\) zurück. Somit gilt für die Durchschnittsgeschwindigkeit des ICE\[\bar v = \frac{{\Delta x}}{{\Delta t}} \Rightarrow \bar v = \frac{{400\,{\rm{km}}}}{{2{,}5\,{\rm{h}} - 0{,}5\,{\rm{h}}}} = 200\,\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\]Bei der Reisezeit muss auch die Anfahrt zum Bahnhof berücksichtigt werden. Im Diagramm wurde von einer halben Stunde ausgegangen.

b)PKW:\[{{{\bar v}_{{\rm{min}}{\rm{,PKW}}}} = \frac{{\Delta {x_{{\rm{min}}}}}}{{\Delta t}} \Rightarrow {{\bar v}_{{\rm{min}}{\rm{,PKW}}}} = \frac{{206{\rm{km}}}}{{3,0{\rm{h}}}} = 69\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}}\]\[{{{\bar v}_{{\rm{max}}{\rm{,PKW}}}} = \frac{{\Delta {x_{{\rm{max}}}}}}{{\Delta t}} \Rightarrow {{\bar v}_{{\rm{max}}{\rm{,PKW}}}} = \frac{{274{\rm{km}}}}{{3,0{\rm{h}}}} = 91\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}}\]Die Durchschnittsgeschwindigkeit eines PKW liegt etwa zwischen \({70\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}}\) und \({90\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}}\).

Zug:\[{{{\bar v}_{{\rm{min}}{\rm{,Zug}}}} = \frac{{\Delta {x_{\min }}}}{{\Delta t}} \Rightarrow {{\bar v}_{{\rm{min}}{\rm{,Zug}}}} = \frac{{200{\rm{km}}}}{{2,5{\rm{h}}}} = 80\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}}\]\[{{{\bar v}_{{\rm{max}}{\rm{,Zug}}}} = \frac{{\Delta {x_{\max }}}}{{\Delta t}} \Rightarrow {{\bar v}_{{\rm{max}}{\rm{,Zug}}}} = \frac{{268{\rm{km}}}}{{2,5{\rm{h}}}} = 110\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}}\]Die Durchschnittsgeschwindigkeit eines Zuges liegt etwa zwischen \({80\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}}\) und \({110\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}}\).

c)Bei einem Flugzeug dauert die Beschleunigungsphase relativ lang. Daher ist der gekrümmte Verlauf des Zeit-Weg-Diagramms beim Flugzeug gut zu erkennen. Auch beim Zug und PKW muss zwar zunächst beschleunigt werden. Die Durchschnittsgeschwindigkeit ist jedoch viel schneller als beim Flugzeug erreicht, daher tritt ein gekrümmter Bereich in dem (groben) Diagramm nicht auf.

d)Die Steigung der Geraden (schwarz) ist ein Maß für die Reisegeschwindigkeit des Flugzeugs:\[{{\bar v}_{{\rm{Flugzeug}}}} = \frac{{\Delta x}}{{\Delta t}} \Rightarrow {{\bar v}_{{\rm{Flugzeug}}}} = \frac{{350{\rm{km}}}}{{0,5{\rm{h}}}} = 700\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\]

e)Der blaue Bereich für den PKW schneidet den gelben Bereich für das Flugzeug bei ca. \(200\,\rm{km}\) (roter Punkt). Für Strecken über \(200\,\rm{km}\) ist man mit dem Flugzeug schneller am Ziel.