Eine Kurzlösung könnte wie folgt lauten:
Alice war \(420\,\rm{m}\) geschwommen, als sie Bob begegnete. Zu diesem Zeitpunkt hatten beide zusammen einmal die Länge des Sees zurückgelegt. Als sie sich wieder begegneten, hatten beide zusammen insgesamt die dreifache Länge des Sees zurückgelegt. Da ihre Geschwindigkeiten konstant waren, war Alice zu diesem Zeitpunkt \(3\) mal \(420\,\rm{m}\) gleich \(1260\,\rm{m}\) gefahren; also war der See \(1260\,\rm{m}\) minus \(260\,\rm{m}\), das heißt einen Kilometer lang.
Wir wollen diese Überlegung in Gleichungen formulieren. Zuerst ist anzumerken, dass die \(10\) Minuten Pause überhaupt keine Rolle spielen, Alice und Bob könnten auch direkt nach der Ankunft an den Seeenden wieder zurückschwimmen.
Es sei \(b\) die Länge des Sees, \(v_{\rm{A}}\) und \(v_{\rm{B}}\) die Geschwindigkeiten von Alice und Bob und \(t_1\) bzw. \(t_2\) die Zeitspannen vom Start des Trainings bis zu ihrem ersten bzw. zweiten Zusammentreffen.
Dann gilt für das erste Zusammentreffen\[\left. \begin{array}{l}{v_{\rm{A}}} \cdot {t_1} = 420\,{\rm{m}}\\{v_{\rm{A}}} \cdot {t_1} + {v_{\rm{B}}} \cdot {t_1} = b\end{array} \right\} \Rightarrow 420\,{\rm{m}} + {v_{\rm{B}}} \cdot {t_1} = b \Leftrightarrow {v_{\rm{B}}} \cdot {t_1} = b - 420\,{\rm{m}} \quad (1)\]Weiter gilt für das zweite Zusammentreffen\[\left. \begin{array}{l}{v_{\rm{A}}} \cdot {t_2} = b + 260\,{\rm{m}}\\{v_{\rm{A}}} \cdot {t_2} + {v_{\rm{B}}} \cdot {t_2} = 3 \cdot b\end{array} \right\} \Rightarrow b + 260\,{\rm{m}} + {v_{\rm{B}}} \cdot {t_2} = 3 \cdot b \quad (2)\]Wenn nun Alice und Bob in der Zeitspanne \(t_1\) ein Mal die Länge des Sees und mit den gleichen Geschwindigkeiten in der Zeitspanne \(t_2\) drei Mal die Länge des Sees zurücklegen, muss die Zeitspanne \(t_2\) auch drei Mal so lang wie die Zeitspanne \(t_1\) sein, d.h. es muss gelten\[{t_2} = 3 \cdot {t_1} \quad (3)\]Setzen wir nun \((3)\) in \((2)\) ein, so erhalten wir\[b + 260\,{\rm{m}} + 3 \cdot {v_{\rm{B}}} \cdot {t_1} = 3 \cdot b\]Setzen wir nun hier \((1)\) ein, so erhalten wir\[\begin{eqnarray}b + 260\,{\rm{m}} + 3 \cdot \left( {b - 420\,{\rm{m}}} \right) &=& 3 \cdot b\\b + 260\,{\rm{m}} + 3 \cdot b - 1260\,{\rm{m}} &=& 3 \cdot b\\b &=& 1000\,{\rm{m}}\end{eqnarray}\]
