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Versuche

Modell eines Kettenkarussells (Simulation)

  
 
  
  
  
©  W. Fendt 1999
HTML5-Canvas nicht unterstützt!
Abb. 1 Simulation eines Kettenkarussells

Wenn auf einen bewegten Körper keine Kraft ausgeübt wird, so bleiben bei diesem nach dem Trägheitssatz Geschwindigkeitsbetrag und Bewegungsrichtung unverändert. Anders verhält es sich bei einer Drehbewegung: In diesem Fall muss eine zur Drehachse hin gerichtete Kraft vorhanden sein, die sogenannte Zentripetalkraft. Das vereinfachte Modell eines Kettenkarussells soll diese Kraft demonstrieren.

Wählt man auf der Schaltfläche rechts oben das zweite der vier Optionsfelder, so werden bei jedem der acht Pendelkörper Vektorpfeile für die auftretenden Kräfte gezeichnet: Die Gewichtskräfte sind schwarz dargestellt, die von den Fäden ausgeübten Kräfte blau. Als Gesamtkraft ergibt sich jeweils durch Vektoraddition die nach innen gerichtete rot dargestellte Zentripetalkraft.

Alternativ zur Simulation des Kettenkarussells (mit und ohne die auftretenden Kräfte) zeigt die Simulation auf Wunsch auch eine einfache zweidimensionale Skizze der auftretenden Kräfte oder gibt wichtige Zahlenwerte an.

Um die Kraftpfeile besser zu erkennen, kann man die Drehbewegung mit dem Button "Pause / Weiter" unterbrechen oder durch Wahl der Option "Zeitlupe" um den Faktor 10 verlangsamen. Mit Hilfe der Textfelder lassen sich die Parameter in gewissen Grenzen verändern ("Enter"-Taste nicht vergessen!).

Bemerkung: Die Simulation setzt eine Drehbewegung mit konstanter Winkelgeschwindigkeit voraus; die Vorgänge beim Beschleunigen bzw. Abbremsen des Karussells werden also nicht berücksichtigt. Ebenso wird der Luftwiderstand vernachlässigt.

Wir danken Herrn Walter Fendt für die Erlaubnis, diese HTML5/Javascript-Animation auf LEIFIphysik zu nutzen.

Im Folgenden wird der Ansatz erläutert, der dieser Simulation zugrundeliegt.

 

Auf die am Faden hängende Masse \(m\) wirken zwei Kräfte, nämlich die Gewichtskraft (nach unten gerichtet) und die vom Faden ausgeübte Zwangskraft (schräg nach oben). Die durch Vektoraddition zu bestimmende Gesamtkraft dieser beiden Kräfte ist die nach innen zur Drehachse gerichtete Zentripetalkraft. Der Skizze entnimmt man den Ansatz (\(\alpha \): Weite des Winkels zwischen dem Faden und der Senkrechten; \(F_{\rm{r}}\): Betrag der Zentripetalkraft (Radialkraft); \({F_{\rm{G}}}\): Betrag der Gewichtskraft)\[\tan \left( \alpha  \right) = \frac{{{F_{{\rm{r}}}}}}{{{F_{\rm{G}}}}}\]Durch Einsetzen der Formeln für den Betrag der Zentripetalkraft (\(r\): Radius der Kreisbewegung; \(\omega \): Winkelgeschwindigkeit)\[{F_{\rm{r}}} = m \cdot r \cdot {\omega ^2}\]und den Betrag der Gewichtskraft (\(m\): Masse; \(g\): Fallbeschleunigung)\[{F_{\rm{G}}} = m \cdot g\]erhält man\[\tan \left( \alpha  \right) = \frac{{m \cdot r \cdot {\omega ^2}}}{{m \cdot g}} = \frac{{r \cdot {\omega ^2}}}{g}\]Berücksichtigt man außerdem (siehe Zeichnung; \({r_0}\): Abstand der Fadenaufhängung von der Drehachse; \(l\): Fadenlänge)\[r = {r_0} + l \cdot \sin \left( \alpha  \right)\]so ergibt sich die Bedingung\[\tan \left( \alpha  \right) = \frac{{m \cdot r \cdot {\omega ^2}}}{{m \cdot g}} = \frac{{\left( {{r_0} + l \cdot \sin \left( \alpha  \right)} \right) \cdot {\omega ^2}}}{g}\]Aus dieser Gleichung lässt sich durch ein Näherungsverfahren (zum Beispiel eine Intervallschachtelung) die Winkelweite \(\alpha \) bestimmen.