Kreisbewegung

Joachim Herz Stiftung

Wir wählen zur Darstellung den Erdboden (Punkt C) als Nullpunkt der potenziellen Energie. Die jeweiligen Höhen des Botafumeiro über dem Erdboden sind grün markiert (vgl. Abb. 2).

Dem System wird beim Absenken zwischen den Punkte A und B Energie entnommen. Es handelt sich dabei um potenzielle Energie, da sich der Botafumeiro nach dem Absenken weniger hoch über dem Erdboden befindet als vorher. Wir bezeichnen diese Energie im Folgenden mit \(\Delta {E_{{\rm{AB}}}}\).  Da der Botafumeiro vor, während und nach dem Absenken ruht, kann keine kinetische Energie entnommen werden.

Dem System wird dagegen beim Anheben zwischen den Punkten C und D Energie zugeführt. Wir bezeichnen diese Energie im Folgenden mit \(\Delta {E_{{\rm{CD}}}}\). Es handelt sich dabei zum einen um potenzielle Energie, da sich der Botafumeiro nach dem Anheben um \(\Delta L\) höher über dem Erdboden befindet als vorhher.

Da der Botafumeiro nach dem Anheben aber eine größere Geschwindigkeit als vorher hat, muss ihm während des Anhebens auch noch kinetische Energie zugeführt werden. Wie ist dies möglich?

Die gesamte Energiezufuhr zwischen den Punkten C und D geschieht durch das Verrichten einer Arbeit \(W_{\rm{CD}}\) beim Anheben. Dabei muss man über die Strecke \(\Delta L\) hinweg eine Kraft aufbringen. Diese Kraft setzt sich nun aus zwei Anteilen zusammen: Zum einen muss man beim Anheben die Gewichtskraft mit dem Betrag \(F_{\rm{G}}\) des Botafumeiro kompensieren. Damit haben wir einen ersten Anteil an verrichteter Arbeit, der in potenzielle Energie umgewandelt wird.

Aber auf den Botafumeiro wirkt im Punkt C noch eine zweite Kraft, nämlich die Zentripetalkraft mit dem Betrag \(F_{\rm{ZP,C}}\), die den Botafumeiro auf seiner Kreisbahn hält. Auch diese Kraft muss man beim Anheben aufbringen. Damit haben wir den zweiten Anteil der verrichteten Arbeit, der in zusätzliche kinetische Energie umgewandelt wird. Alles klar!

Die Gewichtskraft des Botafumeiro ist während des Anhebens konstant. Wir nehmen nun als Näherung an, dass die Zentripetalkraft während des Anhebens ebenfalls konstant bleibt (Dies ist deshalb nicht korrekt, weil sich während des Anhebens bereits die Geschwindigkeit des Botafumeiro vergrößert und sich gleichzeitig der Radius seiner Kreisbahn verkleinert; der Fehler ist aber gering). Damit ergibt sich\[\Delta {E_{\rm{CD}}}=W_{\rm{CD}} = {F_{ges}} \cdot s = \left( {{F_{\rm{G}}} + {F_{{\rm{ZP}}}}} \right) \cdot \Delta L\]

Unser erstes Ziel wird es nun sein, die beiden Größen \(\Delta {E_{{\rm{AB}}}}\) und \(\Delta {E_{\rm{CD}}}\) berechnen zu können - ihre Differenz ist dann die Energiezufuhr in das System während eines Durchlaufs.

In dem kleinen rechtwinkligen Dreick mit den Eckpunkten A und B und den Seitenlängen \(\Delta L\) und \(\Delta h_{\rm{AB}}\) hat der am Punkt A liegende Winkel die Winkelweite \(\varphi_{\rm{A}}\). Nach dem Cosinussatz im rechtwinkligen Dreieck gilt deshalb\[\cos \left( {{\varphi _{\rm{A}}}} \right) = \frac{{\Delta {h_{{\rm{AB}}}}}}{{\Delta L}} \Leftrightarrow \Delta {h_{{\rm{AB}}}} = \Delta L \cdot \cos \left( {{\varphi _{\rm{A}}}} \right)\]Damit ergibt sich für die Energie \(\Delta E_{\rm{AB}}\)\[\Delta {E_{{\rm{AB}}}} = m \cdot g \cdot \Delta {h_{{\rm{AB}}}} = m \cdot g \cdot \Delta L \cdot \cos \left( {{\varphi _{\rm{A}}}} \right)\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[\Delta {E_{{\rm{AB}}}} = 54{\rm{kg}} \cdot 9,8\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot 2,0{\rm{m}} \cdot \cos \left( {15^\circ } \right) = 1022{\rm{J}}\]

a) Aus Abb. 4 entnimmt man\[\cos \left( {{\varphi _{\rm{A}}}} \right) = \frac{{\left( {L + \Delta L} \right) - {h_{\rm{B}}}}}{{L + \Delta L}} \Leftrightarrow \left( {L + \Delta L} \right) \cdot \cos \left( {{\varphi _{\rm{A}}}} \right) = \left( {L + \Delta L} \right) - {h_{\rm{B}}} \Leftrightarrow {h_{\rm{B}}} = \left( {L + \Delta L} \right) \cdot \left( {1 - \cos \left( {{\varphi _{\rm{A}}}} \right)} \right)\]

b) Nach dem Energieerhaltungssatz ist die potenzielle Energie des Systems im Punkt B gleich der kinetischen Energie des Systems im Punkt C. Damit ergibt sich\[\begin{eqnarray}{E_{{\rm{pot,B}}}} &=& {E_{{\rm{kin,C}}}}\\m \cdot g \cdot {h_{\rm{B}}} &=& \frac{1}{2} \cdot m \cdot v_{\rm{C}}^2\\m \cdot g \cdot \left( {L + \Delta L} \right) \cdot \left( {1 - \cos \left( {{\varphi _{\rm{A}}}} \right)} \right) &=& \frac{1}{2} \cdot m \cdot v_{\rm{C}}^2\\2 \cdot m \cdot g \cdot \left( {1 - \cos \left( {{\varphi _{\rm{A}}}} \right)} \right) &=& \frac{{m \cdot v_{\rm{C}}^2}}{{\left( {L + \Delta L} \right)}} = {F_{{\rm{ZP}}{\rm{,C}}}}\end{eqnarray}\]

\[\begin{eqnarray}\Delta {E_{{\rm{CD}}}} &=& \left( {{F_{\rm{G}}} + {F_{{\rm{ZP}}}}} \right) \cdot \Delta L\\ &=& \left( {m \cdot g + 2 \cdot m \cdot g \cdot \left( {1 - \cos \left( {{\varphi _{\rm{A}}}} \right)} \right)} \right) \cdot \Delta L\\ &=& m \cdot g \cdot \left( {1 + 2 - 2 \cdot \cos \left( {{\varphi _{\rm{A}}}} \right)} \right) \cdot \Delta L\\ &=& m \cdot g \cdot \Delta L \cdot \left( {3 - 2 \cdot \cos \left( {{\varphi _{\rm{A}}}} \right)} \right) \end{eqnarray}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[\Delta {E_{{\rm{CD}}}} = 54{\rm{kg}} \cdot 9,8\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot 2,0{\rm{m}} \cdot \left( {3 - 2 \cdot \cos \left( {15^\circ } \right)} \right) = 1130{\rm{J}}\]

Aus den bisherigen Ergebnissen erhält man\[\begin{eqnarray}\Delta {E_{ges}} &=& \Delta {E_{{\rm{CD}}}} - \Delta {E_{{\rm{AB}}}}\\ &=& m \cdot g \cdot \Delta L \cdot \left( {3 - 2 \cdot \cos \left( {{\varphi _{\rm{A}}}} \right)} \right) - m \cdot g \cdot \Delta L \cdot \cos \left( {{\varphi _{\rm{A}}}} \right)\\ &=& m \cdot g \cdot \Delta L \cdot \left( {3 - 2 \cdot \cos \left( {{\varphi _{\rm{A}}}} \right) - \cos \left( {{\varphi _{\rm{A}}}} \right)} \right)\\ &=& m \cdot g \cdot \Delta L \cdot \left( {3 - 3 \cdot \cos \left( {{\varphi _{\rm{A}}}} \right)} \right)\\ &=& 3 \cdot m \cdot g \cdot \Delta L \cdot \left( {1 - \cos \left( {{\varphi _{\rm{A}}}} \right)} \right)\end{eqnarray}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[\Delta {E_{ges}} = 3 \cdot 54{\rm{kg}} \cdot 9,8\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot 2,0{\rm{m}} \cdot \left( {1 - \cos \left( {15^\circ } \right)} \right) = 108{\rm{J}}\]

a) Aus Abb. 5 entnimmt man\[\cos \left( {{\varphi _{\rm{A}}}} \right) = \frac{{L - \Delta {h_{\rm{A}}}}}{L} \Leftrightarrow \Delta {h_{\rm{A}}} = L \cdot \left( {1 - \cos \left( {{\varphi _{\rm{A}}}} \right)} \right) \Rightarrow {h_{\rm{A}}} = L \cdot \left( {1 - \cos \left( {{\varphi _{\rm{A}}}} \right)} \right) + \Delta L\]Damit ergibt sich für die potenzielle Energie des Systems im Punkt A der Term\[{E_{{\rm{pot,A}}}} = m \cdot g \cdot {h_{\rm{A}}} = m \cdot g \cdot L \cdot \left( {1 - \cos \left( {{\varphi _{\rm{A}}}} \right)} \right) + m \cdot g \cdot \Delta L\] b) Die Gesamtenergie \(E_{\rm{D}}\) des Systems am Punkt D ist die Summe aus der potenziellen Energie des Systems im Punkt A und der Energie \(\Delta {E_{ges}}\), die dem System zwischen den Punkten A und D insgesamt hinzugefügt wird . Damit ergibt sich\[\begin{eqnarray}{E_{\rm{D}}} &=& {E_{{\rm{pot,A}}}} + \Delta {E_{ges}}\\ &=& m \cdot g \cdot L \cdot \left( {1 - \cos \left( {{\varphi _{\rm{A}}}} \right)} \right) +m \cdot g \cdot \Delta L + 3 \cdot m \cdot g \cdot \Delta L \cdot \left( {1 - \cos \left( {{\varphi _{\rm{A}}}} \right)} \right)\\ &=& m \cdot g \cdot \left( {1 - \cos \left( {{\varphi _{\rm{A}}}} \right)} \right) \cdot \left( {L + 3 \cdot \Delta L} \right) + m \cdot g \cdot \Delta L \quad(1)\end{eqnarray}\]c) Aus der Abb. 6 entnimmt man\[\cos \left( {{\varphi _{\rm{E}}}} \right) = \frac{{L - {h_{\rm{E}}}}}{L} \Leftrightarrow {h_{\rm{E}}} = L \cdot \left( {1 - \cos \left( {{\varphi _{\rm{E}}}} \right)} \right)+\Delta L\]Damit ergibt sich für die potenzielle Energie des Systems im Punkt E der Term\[{E_{{\rm{pot,E}}}} = m \cdot g \cdot {h_{\rm{E}}} = m \cdot g \cdot L \cdot \left( {1 - \cos \left( {{\varphi _{\rm{E}}}} \right) } \right)+ m \cdot g \cdot \Delta L\quad(2)\]d) Aufgrund des Energieerhaltungssatzes kann man die beiden Terme \((1)\) und \((2)\) gleichsetzen und erhält\[\begin{eqnarray}{E_{{\rm{pot,E}}}} &=& {E_{\rm{D}}}\\ m \cdot g \cdot L \cdot \left( {1 - \cos \left( {{\varphi _{\rm{E}}}} \right)} \right) + m \cdot g \cdot \Delta L &=& m \cdot g \cdot \left( {1 - \cos \left( {{\varphi _{\rm{A}}}} \right)} \right) \cdot \left( {L + 3 \cdot \Delta L} \right)+ m \cdot g \cdot \Delta L\\ L \cdot \left( {1 - \cos \left( {{\varphi _{\rm{E}}}} \right)} \right) &=& \left( {1 - \cos \left( {{\varphi _{\rm{A}}}} \right)} \right) \cdot \left( {L + 3 \cdot \Delta L} \right)\\ \cos \left( {{\varphi _{\rm{E}}}} \right) &=& 1 - \left( {1 - \cos \left( {{\varphi _{\rm{A}}}} \right)} \right) \cdot \frac{{\left( {L + 3 \cdot \Delta L} \right)}}{L}\end{eqnarray}\]e) Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[\cos \left( {{\varphi _{\rm{E}}}} \right) = 1 - \left( {1 - \cos \left( {15^\circ } \right)} \right) \cdot \frac{{\left( {29{\rm{m}} + 3 \cdot 2,0{\rm{m}}} \right)}}{{29{\rm{m}}}} = 0,9589 \Rightarrow {\varphi _{\rm{E}}} = 16,5^\circ \]Der berechnete und der von der Simulation angezeigte Wert stimmen überein.