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Ausblick

Botafumeiro (Simulation)

Der Botafumeiro ist ein etwa \(1,60\rm{m}\) großes und \(54\rm{kg}\) schweres Weihrauchfass, das zu den Hauptattraktionen der Kathedrale von Santiago de Compostela, dem Zielort des Jakobsweges, gehört. Der Botafumeiro hängt an einem etwa \(30\rm{m}\) langen Seil und wird zu besonderen Anlässen von acht Männern in Bewegung gesetzt. Dabei schwingt er bis hoch unter die Decke und erreicht Geschwindigkeiten von bis zu \(65\rm{\frac{km}{h}}\). Am Tiefpunkt der Kreisbahn berührt er beinahe den Boden. Um dem Weihrauchfass nach und nach die notwendige Energie zu geben, verkürzen die Männer das Seil durch Ziehen beim Durchgang durch den Tiefpunkt etwas nach oben und lassen es bei der maximalen Auslenkung wieder um die gleiche Strecke los, wodurch die tatsächliche Bewegung von einer Kreisbahn geringfügig abweicht.

m
L
φo
dL
Senk-/Hebevorgänge pro Periode
φmax
vmax
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Abb. 1 Bewegung des Botafumeiro. Die verschiedenen Parameter lassen sich in gewissen Grenzen verändern und die Auswirkung auf die Schwingung des Botafumeiro untersuchen

Sowohl im Video als auch in der Simulation kannst du erkennen, dass der Botafumeiro durch das Absenken und Anheben immer höher schwingt und am tiefsten Punkt der Bewegung auch immer schneller wird. Dies kann nur durch Energiezufuhr geschehen. Das Ziel der folgenden Aufgabe ist, dass du zum einen verstehst, wie dem System durch Absenken und Anheben Energie zugeführt wird. Zum anderen wollen wir eine Formel entwickeln, mit der wir berechnen können, um wie viel Grad der Botafumeiro durch einen Senk-/Hebevorgang weiter ausgelenkt wird.

Wenn du in der Simulation \(m=54\rm{kg}\), \(L=29\rm{m}\), \(\Delta L=2,0\rm{m}\) und \({\varphi _0} = 15^\circ \) und einen Senk-/Hebevorgang pro Periode wählst, kannst du die Rechnungen anhand der in der Simulation links unten angezeigten Werte gut nachvollziehen.

Aufgabe

botafumeiro_bild_1.svg
Abbildung 1: Darstellung des Bewegungsverlaufs

Der Schwerpunkt des Botafumeiro soll sich idealisiert längs der Linie A-B-C-D-E-A bewegen (vgl. Abb. 1).

Gib an, zwischen welchen Punkten dem System Energie entnommen und zwischen welchen Punkten dem System Energie zugeführt wird.

Erläutere weiter, in welchen Energieformen dem System Energie entnommen oder zugeführt wird. Achte dabei insbesondere auf die Höhe des Botafumeiros über dem Erdboden (Punkt C) und den in der Simulation ganz links unten angezeigten Wert für die maximale Geschwindigkeit \({v _{{\rm{max}}}}\) des Butafumeiro.

Lösung

botafumeiro_bild_2.svg
Abbildung 2: Darstellung der Höhe des Butafumeiro über dem Erdboden

Wir wählen zur Darstellung den Erdboden (Punkt C) als Nullpunkt der potenziellen Energie. Die jeweiligen Höhen des Botafumeiro über dem Erdboden sind grün markiert (vgl. Abb. 2).

Dem System wird beim Absenken zwischen den Punkte A und B Energie entnommen. Es handelt sich dabei um potenzielle Energie, da sich der Botafumeiro nach dem Absenken weniger hoch über dem Erdboden befindet als vorher. Wir bezeichnen diese Energie im Folgenden mit \(\Delta {E_{{\rm{AB}}}}\).  Da der Botafumeiro vor, während und nach dem Absenken ruht, kann keine kinetische Energie entnommen werden.

Dem System wird dagegen beim Anheben zwischen den Punkten C und D Energie zugeführt. Wir bezeichnen diese Energie im Folgenden mit \(\Delta {E_{{\rm{CD}}}}\). Es handelt sich dabei zum einen um potenzielle Energie, da sich der Botafumeiro nach dem Anheben um \(\Delta L\) höher über dem Erdboden befindet als vorhher.

Da der Botafumeiro nach dem Anheben aber eine größere Geschwindigkeit als vorher hat, muss ihm während des Anhebens auch noch kinetische Energie zugeführt werden. Wie ist dies möglich?

Die gesamte Energiezufuhr zwischen den Punkten C und D geschieht durch das Verrichten einer Arbeit \(W_{\rm{CD}}\) beim Anheben. Dabei muss man über die Strecke \(\Delta L\) hinweg eine Kraft aufbringen. Diese Kraft setzt sich nun aus zwei Anteilen zusammen: Zum einen muss man beim Anheben die Gewichtskraft mit dem Betrag \(F_{\rm{G}}\) des Botafumeiro kompensieren. Damit haben wir einen ersten Anteil an verrichteter Arbeit, der in potenzielle Energie umgewandelt wird.

Aber auf den Botafumeiro wirkt im Punkt C noch eine zweite Kraft, nämlich die Zentripetalkraft mit dem Betrag \(F_{\rm{ZP,C}}\), die den Botafumeiro auf seiner Kreisbahn hält. Auch diese Kraft muss man beim Anheben aufbringen. Damit haben wir den zweiten Anteil der verrichteten Arbeit, der in zusätzliche kinetische Energie umgewandelt wird. Alles klar!

Die Gewichtskraft des Botafumeiro ist während des Anhebens konstant. Wir nehmen nun als Näherung an, dass die Zentripetalkraft während des Anhebens ebenfalls konstant bleibt (Dies ist deshalb nicht korrekt, weil sich während des Anhebens bereits die Geschwindigkeit des Botafumeiro vergrößert und sich gleichzeitig der Radius seiner Kreisbahn verkleinert; der Fehler ist aber gering). Damit ergibt sich\[\Delta {E_{\rm{CD}}}=W_{\rm{CD}} = {F_{ges}} \cdot s = \left( {{F_{\rm{G}}} + {F_{{\rm{ZP}}}}} \right) \cdot \Delta L\]

Unser erstes Ziel wird es nun sein, die beiden Größen \(\Delta {E_{{\rm{AB}}}}\) und \(\Delta {E_{\rm{CD}}}\) berechnen zu können - ihre Differenz ist dann die Energiezufuhr in das System während eines Durchlaufs.

botafumeiro_bild_4.svg
Abbildung 3: Skizze zur Berechnung von \(\Delta h_{\rm{AB}}\)

Wir beginnen mit der Energie \(\Delta {E_{{\rm{AB}}}}\), die dem System beim Absenken des Botafumeiro vom Punkt A zum Punkt B entnommen wird.

Leite mit Hilfe von Abb. 3 einen Term für die Energie \(\Delta E_{\rm{AB}}\) her.

Berechne den Wert für \(\Delta E_{\rm{AB}}\) für \(m=54\rm{kg}\), \(L=29\rm{m}\), \(\Delta L=2,0\rm{m}\) und \({\varphi _{\rm{A}}} = 15^\circ \).

Lösung

In dem kleinen rechtwinkligen Dreick mit den Eckpunkten A und B und den Seitenlängen \(\Delta L\) und \(\Delta h_{\rm{AB}}\) hat der am Punkt A liegende Winkel die Winkelweite \(\varphi_{\rm{A}}\). Nach dem Cosinussatz im rechtwinkligen Dreieck gilt deshalb\[\cos \left( {{\varphi _{\rm{A}}}} \right) = \frac{{\Delta {h_{{\rm{AB}}}}}}{{\Delta L}} \Leftrightarrow \Delta {h_{{\rm{AB}}}} = \Delta L \cdot \cos \left( {{\varphi _{\rm{A}}}} \right)\]Damit ergibt sich für die Energie \(\Delta E_{\rm{AB}}\)\[\Delta {E_{{\rm{AB}}}} = m \cdot g \cdot \Delta {h_{{\rm{AB}}}} = m \cdot g \cdot \Delta L \cdot \cos \left( {{\varphi _{\rm{A}}}} \right)\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[\Delta {E_{{\rm{AB}}}} = 54{\rm{kg}} \cdot 9,8\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot 2,0{\rm{m}} \cdot \cos \left( {15^\circ } \right) = 1022{\rm{J}}\]

botafumeiro_bild_6.svg
Abbildung 4: Skizze zur Berechnung von \(h_{\rm{B}}\)
Zum Berechnen der Energie \(\Delta {E_{{\rm{CD}}}}\), die dem System beim Anheben des Botafumeiro vom Punkt C zum Punkt D zugeführt wird, benötigen wir den Betrag \(F_{\rm{ZP,C}}\) der Zentripetalkraft am Punkt C.

a) Leite mit Hilfe von Abb. 4 einen Term für die Energie \(\Delta E_{\rm{B}}\) des Systems im Punkt B her.

b) Zeige des Energieerhaltungssatz zwischen den Punkten B und C, dass sich der Betrag \(F_{\rm{ZP,C}}\) der Zentripetalkraft am Punkt C durch den Term \({F_{{\rm{ZP}}}} = 2 \cdot m \cdot g \cdot \left( {1 - \cos \left( {{\varphi _{\rm{A}}}} \right)} \right)\) berechnen lässt.

Lösung

a) Aus Abb. 4 entnimmt man\[\cos \left( {{\varphi _{\rm{A}}}} \right) = \frac{{\left( {L + \Delta L} \right) - {h_{\rm{B}}}}}{{L + \Delta L}} \Leftrightarrow \left( {L + \Delta L} \right) \cdot \cos \left( {{\varphi _{\rm{A}}}} \right) = \left( {L + \Delta L} \right) - {h_{\rm{B}}} \Leftrightarrow {h_{\rm{B}}} = \left( {L + \Delta L} \right) \cdot \left( {1 - \cos \left( {{\varphi _{\rm{A}}}} \right)} \right)\]

b) Nach dem Energieerhaltungssatz ist die potenzielle Energie des Systems im Punkt B gleich der kinetischen Energie des Systems im Punkt C. Damit ergibt sich\[\begin{eqnarray}{E_{{\rm{pot,B}}}} &=& {E_{{\rm{kin,C}}}}\\m \cdot g \cdot {h_{\rm{B}}} &=& \frac{1}{2} \cdot m \cdot v_{\rm{C}}^2\\m \cdot g \cdot \left( {L + \Delta L} \right) \cdot \left( {1 - \cos \left( {{\varphi _{\rm{A}}}} \right)} \right) &=& \frac{1}{2} \cdot m \cdot v_{\rm{C}}^2\\2 \cdot m \cdot g \cdot \left( {1 - \cos \left( {{\varphi _{\rm{A}}}} \right)} \right) &=& \frac{{m \cdot v_{\rm{C}}^2}}{{\left( {L + \Delta L} \right)}} = {F_{{\rm{ZP}}{\rm{,C}}}}\end{eqnarray}\]

Nun berechnen wir die Energie \(\Delta {E_{{\rm{CD}}}}\), die dem System beim Anheben des Botafumeiro vom Punkt C zum Punkt D hinzugefügt wird. Wie bereits gesagt gilt \(\Delta {E_{\rm{CD}}}=W_{\rm{CD}} = {F_{\rm{ges}}} \cdot s = \left( {{F_{\rm{G}}} + {F_{{\rm{ZP}}}}} \right) \cdot \Delta L\)

Leite einen Term für die Energie \(\Delta E_{\rm{CD}}\) her.

Berechne den Wert für \(\Delta E_{\rm{CD}}\) für \(m=54\rm{kg}\), \(L=29\rm{m}\), \(\Delta L=2,0\rm{m}\) und \({\varphi _{\rm{A}}} = 15^\circ \).

Lösung

\[\begin{eqnarray}\Delta {E_{{\rm{CD}}}} &=& \left( {{F_{\rm{G}}} + {F_{{\rm{ZP}}}}} \right) \cdot \Delta L\\ &=& \left( {m \cdot g + 2 \cdot m \cdot g \cdot \left( {1 - \cos \left( {{\varphi _{\rm{A}}}} \right)} \right)} \right) \cdot \Delta L\\ &=& m \cdot g \cdot \left( {1 + 2 - 2 \cdot \cos \left( {{\varphi _{\rm{A}}}} \right)} \right) \cdot \Delta L\\ &=& m \cdot g \cdot \Delta L \cdot \left( {3 - 2 \cdot \cos \left( {{\varphi _{\rm{A}}}} \right)} \right) \end{eqnarray}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[\Delta {E_{{\rm{CD}}}} = 54{\rm{kg}} \cdot 9,8\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot 2,0{\rm{m}} \cdot \left( {3 - 2 \cdot \cos \left( {15^\circ } \right)} \right) = 1130{\rm{J}}\]

Leite einen Term zur Berechnung der Energie \(\Delta E_{\rm{ges}}=\Delta {E_{{\rm{CD}}}}-\Delta {E_{{\rm{AB}}}}\) her.

Berechne den Wert für \(\Delta E_{\rm{ges}}\) für \(m=54\rm{kg}\), \(L=29\rm{m}\), \(\Delta L=2,0\rm{m}\) und \({\varphi _{\rm{A}}} = 15^\circ \).

Lösung

Aus den bisherigen Ergebnissen erhält man\[\begin{eqnarray}\Delta {E_{ges}} &=& \Delta {E_{{\rm{CD}}}} - \Delta {E_{{\rm{AB}}}}\\ &=& m \cdot g \cdot \Delta L \cdot \left( {3 - 2 \cdot \cos \left( {{\varphi _{\rm{A}}}} \right)} \right) - m \cdot g \cdot \Delta L \cdot \cos \left( {{\varphi _{\rm{A}}}} \right)\\ &=& m \cdot g \cdot \Delta L \cdot \left( {3 - 2 \cdot \cos \left( {{\varphi _{\rm{A}}}} \right) - \cos \left( {{\varphi _{\rm{A}}}} \right)} \right)\\ &=& m \cdot g \cdot \Delta L \cdot \left( {3 - 3 \cdot \cos \left( {{\varphi _{\rm{A}}}} \right)} \right)\\ &=& 3 \cdot m \cdot g \cdot \Delta L \cdot \left( {1 - \cos \left( {{\varphi _{\rm{A}}}} \right)} \right)\end{eqnarray}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[\Delta {E_{ges}} = 3 \cdot 54{\rm{kg}} \cdot 9,8\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot 2,0{\rm{m}} \cdot \left( {1 - \cos \left( {15^\circ } \right)} \right) = 108{\rm{J}}\]

Schließlich wollen wir die neue maximale Auslenkung des Botafumeiro berechnen. Dies machen wir wieder mit dem Energieerhaltungssatz.

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Abbildung 5: Skizze zur Berechnung von \(h_{\rm{A}}\)
a) Leite mit Hilfe von Abb. 5 einen Term für die potenzielle Energie \({E_{{\rm{pot,A}}}}\) des Systems in Punkt A her.

b) Leite einen Term für die Gesamtenergie des Systems in Punkt D her.

botafumeiro_bild_5.svg
Abbildung 6: Skizze zur Berechnung von \(h_{\rm{E}}\)
c) Leite mit Hilfe von Abb. 6 einen Term für die potenzielle Energie \({E_{{\rm{pot,E}}}}\) des Systems in Punkt E her.

d) Leite mit Hilfe des Energieerhaltungssatzes einen Term für die Winkelweite \({{\varphi _{\rm{E}}}}\) her.

e) Berechne die Winkelweite \({{\varphi _{\rm{E}}}}\) für \(m=54\rm{kg}\), \(L=29\rm{m}\), \(\Delta L=2,0\rm{m}\) und \({\varphi _{\rm{A}}} = 15^\circ \) und vergleiche das Ergebnis mit der Winkelweite, die die Simulation anzeigt.

Lösung

a) Aus Abb. 5 entnimmt man\[\cos \left( {{\varphi _{\rm{A}}}} \right) = \frac{{L - \Delta {h_{\rm{A}}}}}{L} \Leftrightarrow \Delta {h_{\rm{A}}} = L \cdot \left( {1 - \cos \left( {{\varphi _{\rm{A}}}} \right)} \right) \Rightarrow {h_{\rm{A}}} = L \cdot \left( {1 - \cos \left( {{\varphi _{\rm{A}}}} \right)} \right) + \Delta L\]Damit ergibt sich für die potenzielle Energie des Systems im Punkt A der Term\[{E_{{\rm{pot,A}}}} = m \cdot g \cdot {h_{\rm{A}}} = m \cdot g \cdot L \cdot \left( {1 - \cos \left( {{\varphi _{\rm{A}}}} \right)} \right) + m \cdot g \cdot \Delta L\] b) Die Gesamtenergie \(E_{\rm{D}}\) des Systems am Punkt D ist die Summe aus der potenziellen Energie des Systems im Punkt A und der Energie \(\Delta {E_{ges}}\), die dem System zwischen den Punkten A und D insgesamt hinzugefügt wird . Damit ergibt sich\[\begin{eqnarray}{E_{\rm{D}}} &=& {E_{{\rm{pot,A}}}} + \Delta {E_{ges}}\\ &=& m \cdot g \cdot L \cdot \left( {1 - \cos \left( {{\varphi _{\rm{A}}}} \right)} \right) +m \cdot g \cdot \Delta L + 3 \cdot m \cdot g \cdot \Delta L \cdot \left( {1 - \cos \left( {{\varphi _{\rm{A}}}} \right)} \right)\\ &=& m \cdot g \cdot \left( {1 - \cos \left( {{\varphi _{\rm{A}}}} \right)} \right) \cdot \left( {L + 3 \cdot \Delta L} \right) + m \cdot g \cdot \Delta L \quad(1)\end{eqnarray}\]c) Aus der Abb. 6 entnimmt man\[\cos \left( {{\varphi _{\rm{E}}}} \right) = \frac{{L - {h_{\rm{E}}}}}{L} \Leftrightarrow {h_{\rm{E}}} = L \cdot \left( {1 - \cos \left( {{\varphi _{\rm{E}}}} \right)} \right)+\Delta L\]Damit ergibt sich für die potenzielle Energie des Systems im Punkt E der Term\[{E_{{\rm{pot,E}}}} = m \cdot g \cdot {h_{\rm{E}}} = m \cdot g \cdot L \cdot \left( {1 - \cos \left( {{\varphi _{\rm{E}}}} \right) } \right)+ m \cdot g \cdot \Delta L\quad(2)\]d) Aufgrund des Energieerhaltungssatzes kann man die beiden Terme \((1)\) und \((2)\) gleichsetzen und erhält\[\begin{eqnarray}{E_{{\rm{pot,E}}}} &=& {E_{\rm{D}}}\\ m \cdot g \cdot L \cdot \left( {1 - \cos \left( {{\varphi _{\rm{E}}}} \right)} \right) + m \cdot g \cdot \Delta L &=& m \cdot g \cdot \left( {1 - \cos \left( {{\varphi _{\rm{A}}}} \right)} \right) \cdot \left( {L + 3 \cdot \Delta L} \right)+ m \cdot g \cdot \Delta L\\ L \cdot \left( {1 - \cos \left( {{\varphi _{\rm{E}}}} \right)} \right) &=& \left( {1 - \cos \left( {{\varphi _{\rm{A}}}} \right)} \right) \cdot \left( {L + 3 \cdot \Delta L} \right)\\ \cos \left( {{\varphi _{\rm{E}}}} \right) &=& 1 - \left( {1 - \cos \left( {{\varphi _{\rm{A}}}} \right)} \right) \cdot \frac{{\left( {L + 3 \cdot \Delta L} \right)}}{L}\end{eqnarray}\]e) Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[\cos \left( {{\varphi _{\rm{E}}}} \right) = 1 - \left( {1 - \cos \left( {15^\circ } \right)} \right) \cdot \frac{{\left( {29{\rm{m}} + 3 \cdot 2,0{\rm{m}}} \right)}}{{29{\rm{m}}}} = 0,9589 \Rightarrow {\varphi _{\rm{E}}} = 16,5^\circ \]Der berechnete und der von der Simulation angezeigte Wert stimmen überein.