Kreisbewegung

Mechanik

Kreisbewegung

  • Was ist eigentlich die Zentrifugalkraft?
  • Wie komme ich gefahrlos durch den Looping?
  • Welche Kraft erfährt ein Formel-1-Fahrer in einer Kurve?

Kunstflug - Turns und Looping

Sowohl beim Segel- als auch beim Motorflug gibt es bestimmte Kunstflugfiguren.

Zu nebenstehend gezeigtem Looping stellen sich folgende Fragen:

 

 

  1. Wie groß muss die Geschwindigkeit des Flugzeugs im höchsten Punkt mindestens sein, damit das Flugzeug einen Kreis fahren kann. Welche Kraft ist dort die Zentripetalkraft.
  2. Wie groß ist dann die Geschwindigkeit im tiefsten Punkt, wenn keine zusätzlichen Antriebs- oder Bremskräfte wirken?
  3. Wie groß ist die Kraft auf Piloten und Flugzeug im tiefsten Punkt?
Hier sehen Sie, wie das ganze aus Pilotensicht aussieht.

Folgende Skizzen und Teile des Text wurden den Seiten des Segelflugprojekts von Marcell Mareis / Michael Schneider der Realschule Voehringen entnommen, sie zeigen weitere Kunstflugfiguren.

Looping

 

Die wohl bekannteste Figur ist  der Looping. Das Flugzeug beschreibt einen einfachen Kreis am Himmel. Er ist relativ einfach zu fliegen, doch man muss aufpassen, dass der Loop auch gleichmäßig rund ist, und nicht spitzig ist am oberen Teil (Ei). Auch die Fliehkräfte sind nicht sehr hoch wenn er korrekt ausgeführt wird.

 

 


Bei keiner Flugfigur macht es bei der Ausbildung mehr Spaß, vom Boden aus zuzuschauen, wie beim Turn - und bei keiner Figur kann der ambitionierte Einsteiger seine Kreativität besser ausleben. Für einen Turn nehme man genügend Fahrt auf, ziehe bis in den senkrechten Steigflug, zeige idealerweise noch eine deutliche senkrechte Linie und trete dann zum richtigen Zeitpunkt ins Seitenruder. Hat man alles richtig gemacht, dreht das Flugzeug am Scheitelpunkt seiner Bahn quasi auf einem Punkt um seine Hochachse und geht in den senkrechten Sturzflug über, aus dem es dann nach einer schönen Linie wieder abgefangen wird. 

Turn

Rolle

Unter einer Rolle versteht man eine Drehung um die Flugzeuglängsachse entlang einer (hoffentlich)  geraden Linie. Die Anforderungen an die Koordination sind nicht unbeträchtlich, was vor allem Einsteiger bei ihrer Kunstflugschulung feststellen. Bewundernd blicken sie auf zu den erfahrenen Wettbewerbspiloten, die diese Figur souverän meistern. 


Zum Trudeln wird das Flugzeug im normalen Geradeausflug immer mehr verlangsamt, bis die "Überziehgeschwindigkeit" erreicht ist. In diesem Moment wird durch einen Seitenruderausschlag ein asymmetrischer Flugzustand herbeigeführt, der die Strömung an einer Tragfläche zum Abreißen bringt (einseitiger Auftriebsverlust). Die Maschine kippt ab und wird durch die ungleichmäßig wirkenden Luftkräfte an den Tragflächen auf eine Art Korkenzieherbahn gezwungen. Durch den hohen Widerstand bleibt die Geschwindigkeit verhältnismäßig gering, und auch die Belastung der Struktur hält sich in Grenzen. Je nach Flugzeugtyp und Schwerpunktlage ist das Trudeln ein  "stabiler" Flugzustand, d.h. das Flugzeug macht auf seiner Korkenzieherbahn (ohne schneller zu werden) lustig weiter, bis das Trudeln durch einen konsequenten (Seiten-) Ruderausschlag beendet wird. 
Das Trudeln

Männchen/Weibchen

Eingeleitet wird die Figur durch ein Ziehen in die Vertikale, dann lässt man das Flugzeug so gerade wie nur möglich senkrecht aufwärts ausschießen. Ziel ist es, nach dem Erreichen des Scheitels ein Stückchen erkennbar zurückzufallen (vorzugsweise mehr als eine Flugzeuglänge) und dann zur richtigen Seite umzukippen: fällt man auf den "Bauch", dann handelt es sich um ein Männchen; fällt man auf den Rücken (wie in der Skizze), wird es Weibchen genannt und ist eine andere Flugfigur. Die Schwierigkeit dabei ist, dass man ab dem Scheitel so gut wie keinen Einfluss mehr darauf hat, wie man zurück fällt. Wer auf Nummer sicher gehen will, der steigt nicht genau senkrecht, sondern legt ein paar Grad in die gewünschte Fallrichtung auf, dies bringt zwar Punkteabzug, aber nicht so viel wie bei einem ungewollten Ausbrechen in die falsche Richtung. 
Wer im Deutschland Segelkunstflug betreiben will braucht eine Kunstfluglizenz (Turnschein).Vorrausetzung dafür ist natürlich der Segelflugschein und nach dessen Erhalt mindestens 50 Flugstunden. Empfehlenswert ist aber das 3 bis 4-fache.
 

Fliehkraftregler von James WATT (Simulation)

von Mirko Junge (Mirko Junge im Science Museum London) [GFDL oder CC-BY-SA-3.0], via Wikimedia Commons

James WATT (1736 - 1819) produzierte zusammen mit Matthew BOULTON (1728 - 1809) in einer gemeinsamen Firma Dampfmaschinen. 1788 entdeckte BOULTON den Fliehkraftregler beim Windmühlenbau und setzte ihn zur Drehzahlregelung der Dampfmaschinen ein.

 

 

Die Funktionsweise eines Fliehkraftreglers ist wie folgt: An einer mit der Winkelgeschwindigkeit \(\omega\) rotierenden Drehachse sind zwei Hebel der Länge \(L\) beweglich befestigt, an deren Enden sich zwei Kugeln der Masse \(M\) befinden. Im Abstand \(a\) vom Drehpunkt sind an den Hebeln zwei weitere kurze Stangen der Länge \(a\) befestigt, die einen auf der Achse gleitenden Ring der Masse \(m\) heben oder senken. Je größer die Winkelweite \(\alpha \) zwischen Achse und Hebel, desto höher steigt der Ring, der bei der Dampfmaschine die Dampfzufuhr regelt.

M
m
m
α
HTML5-Canvas nicht unterstützt!
3 Funktionsweise des Fliehkraftreglers von James WATT. Sie benutzt die Werte \(L=17{,}5\,\rm{cm}\), \(a=7{,}0\,\rm{cm}\), die Massen \(M\) und \(m\) sowie die Winkelgeschwindigkeit \(\omega\) können variiert werde; angezeigt wird die Winkelweite \(\alpha \)

a)

Erläutere, welche Kräfte im rotierenden Bezugssysstem auf \(M\) wirken. Vernachlässige hierbei die Gewichtskraft der Masse \(m\).

b)

Erläutere, welche Kräfte im nicht rotierenden Bezugssysstem auf \(M\) wirken. Vernachlässige hierbei wieder die Gewichtskraft der Masse \(m\).

c)

Leite einen Term für die Winkelweite \(\alpha \) in Abhängigkeit von der Winkelgeschwindigkeit \(\omega\), der Masse \(M\), der Länge \(L\) sowie eventuellen Konstanten her. Vernachlässige hierbei wieder die Gewichtskraft der Masse \(m\).

Berechne die Winkelweite \(\alpha \) für \(\omega  = 8\frac{1}{{\rm{s}}}\), \(M=1,5\rm{kg}\) und \(L=17,5\rm{cm}=0,175\rm{m}\).

d)

Nur für Experten: Nun soll die Gewichtskraft der Masse \(m\) nicht mehr vernachlässigt werden.

Leite einen Term für die Winkelweite \(\alpha \) in Abhängigkeit von der Winkelgeschwindigkeit \(\omega\), den Massen \(M\) und \(m\), den Längen \(L\) und \(a\) sowie eventuellen Konstanten her.

Berechne die Winkelweite \(\alpha \) für \(M=1,5\rm{kg}\), \(L=17,5\rm{cm}=0,175\rm{m}\), \(a=7\rm{cm}=0,07\rm{m}\) und \(m=500\rm{g}=0,500\rm{kg}\).

Bremsen in der Kurve

Hinweis: Diese Seite folgte einer Idee von Dr. Walter Bube.

1 Kräfteverhältnisse beim Bremsen in der Kurve anhand des KAMMschen Kreises

Bei jedem Lenkmanöver muss die Reibungskraft der Reifen am Boden die nötige Zentripetalkraft liefern, Diese Seitenführungskraft (Fs) quer zur Abrollrichtung verhindert, dass das Fahrzeug in einer Kurve von der Fahrbahn abkommt.

Beim Bremsen und Beschleunigen in Längsrichtung muss der Reifen die Längskraft (Fl) in Längsrichtung übertragen.

Diese beiden Kräfte addieren sich vektoriell zu der resultierenden "Summenkraft" (Fres). Sie kann umso größer ausfallen, je griffiger Fahrbahn und Reifen sind; auf Nässe sind nur geringe Kräfte übertragbar.

Ganz anschaulich lässt sich dies in einem Längs-/Seitenkraft-Diagramm, dem sogenannten „KAMMschen Kreis“ darstellen. Der Radius des Kreises dokumentiert hierbei die maximale vom Reifen auf die Fahrbahn übertragbare Haftkraft. Bei voller Ausnutzung der Längskraft (Fl) beim Bremsen bleibt kein Spielraum mehr für Seitenkräfte und umgekehrt.

Fazit: Wird bei Kurvenfahrt gebremst oder beschleunigt, geschieht das auf Kosten der übertragbaren Seitenkraft (Fs ), das Auto kann dabei unfreiwillig die Straße verlassen. Ein Reifen, der alle seine Haltekräfte für die Seitenführung in der Kurve einsetzen muss, hat keine Reserven mehr für eine positive oder negative Beschleunigung übrig. Wer also eine Kurve mit maximal möglicher Geschwindigkeit fährt, sollte weder bremsen noch Gas geben.

  1. Ein PKW der Masse \(1,5\rm{t}\) fährt auf ebener, feuchter Straße (\({\mu _{Haft}} = 0,30\)) in eine Kurve mit dem Radius \(50\rm{m}\). Berechne, bei welcher Geschwindigkeit  der Reifen wegzurutschen beginnt.

  2. Untersuche, ob der Fahrer in einer Kurve mit 80% der maximal übertragbaren Bremskraft bremsen kann, wenn die Seitenführungskraft 70% der bei dem Straßenzustand maximal möglichen Kraft beansprucht. Skizziere dazu einen kammschen Kreis.

Bikeloop

Der Vertreiber des Bike - Loops schreibt:
Eine neue Herausforderung für alle Biker und die, die einfach nur Spaß haben wollen. Rauf auf´s Rad, anschnallen und los geht´s. Kräftig treten, ein paarmal Schwung holen und schon klappt der Bike-Loop. Rotieren nach Lust und Laune - ein spaßiger Geschwindigkeitsrausch.  Wer Lust hat, kann oben bremsen und sich die Gegend verkehrt herum ansehen.

Technische Daten:
Abstand Drehachse - Boden 320 cm
Masse des Drehgestells 120 kg
Abstand Drehachse - Schwerpunkt Drehgestell 50 cm
Abstand Drehachse - Körperschwerpunkt 250 cm

 

Zum Verständnis des Geräts lösen sie die folgenden Aufgaben:

a) Wie weit von der Drehachse liegt der Gesamtschwerpunkt bei einem 65 kg schweren Radler?
b) Welche Geschwindigkeit muss der Gesamtschwerpunkt im tiefsten Punkt haben, damit das Gerät einen Looping dreht?
c) Welche Geschwindigkeit muss man dazu mit den Rädern erreichen?
d) Welche Winkelgeschwindigkeit muss im obersten Punkt sein, damit der Körperschwerpunkt dort kräftefrei ist?
e) Welche Kraft wirkt dann auf den Körper im tiefsten Punkt?

 

Motorrad in der Kurve

Fahre mit der Maus über das Bild!

Geradeausfahrt

Bei der Geradeausfahrt eines Motorrads herrscht Kräfte- und Drehmomentgleichgewicht. Die resultierende Kraft ist Null.

Kräftegleichgewicht:

Die im Schwerpunkt des Gefährts ansetzende Gewichtskraft \({{\vec F}_{\rm{G}}}\) ist betrags- und richtungsgleich der an der Kontaktstelle des Reifens ansetzenden Bodendruckkraft \({{\vec F}_{\rm{B}}}\).

Drehmomentengleichgewicht:

Die Wirkungslinie von Gewichtskraft \({{\vec F}_{\rm{G}}}\) und Bodendruckkraft \({{\vec F}_{\rm{B}}}\) sind gleich.

Fahre mit der Maus über das Bild!

Kurvenfahrt

Bei der Kurvenfahrt eines Motorrads benötigt das Motorrad eine zur Innenseite der Kurve hin gerichtete Zentripetalkraft.

Dies erreicht man durch eine zusätzliche seitliche Komponente der Bodendruckkraft \({{\vec F}_{\rm{B}}}\) seitliche Haftung hat.

Die Bodendruckkraft ist nicht mehr senkrecht, muss aber nach wie vor durch den Schwerpunkt des Gefährts verlaufen, damit das Motorrad nicht umfällt. Deshalb ist die Neigung des Motorrads notwendig.

Verschiebt man die Bodendruckkraft \({{\vec F}_{\rm{B}}}\) längs ihrer Wirkungslinie in den Schwerpunkt des Gefährts, so erkennt man:

Die Zentripetalkraft \({{\vec F}_{\rm{ZP}}}\) ist die vektorielle Summe aus Gewichtskraft \({{\vec F}_{\rm{G}}}\) und schräger Bodendruckkraft \({{\vec F}_{\rm{B}}}\).

Zur Berechnung von Winkeln und Kraftbeträgen tut man sich oft leichter, wenn man die der Zentripetalkraft \({{\vec F}_{\rm{ZP}}}\) entgegengesetzt gerichtete Trägheitskraft \({{\vec F}_{\rm{ZF}}}\) betrachtet. Diese Trägheitskraft scheint der beschleunigte Motorradfahrer zu spüren. Man nennt diese Scheinkraft Zentrifugalkraft \({{\vec F}_{{\rm{ZF}}}}\).

Nun erkennt man auch wieder gut das Kräfte- und Drehmomentengleichgewicht im beschleunigten Motorrad.

Der Bodendruckkraft \({{\vec F}_{\rm{B}}}\), die man in eine zum Boden senkrechte und eine zum Boden parallele Komponente zerlegen kann, wirkt die Kräftesumme aus Zentrifugalkraft \({{\vec F}_{\rm{ZF}}}\) und Gewichtskraft \({{\vec F}_{\rm{G}}}\) entgegen. Diese Kräftesumme ist gegengleich der Bodendruckkraft und hat dieselbe Wirkungslinie wie diese.

Die parallel zum Boden gerichtete Komponente der Bodendruckkraft kann nie größer sein als die maximale Haftkraft der Reifen auf der Unterlage.

Die Motorradfahrerin auf obigen Bildern will mit möglichst großer Geschwindigkeit die \(400m\) Bahn eines Leichtathletikstadions durchfahren.

Untersuche, welche beiden vom Bahnradius unabhängigen Größen ihre maximale Geschwindigkeit begrenzen.

Berechne, wie groß der Haftreibungskoeffizient sein muss, damit die Fahrerin ohne Verwendung der Antriebskraft der Räder und ohne Rutschen mit maximal möglicher Geschwindigkeit durch die Kurve kommt.

Erläutere, durch welche Maßnahmen Sandbahnfahrer eine noch größere Kurvengeschwindigkeit erreichen.

Botafumeiro (Simulation)

Der Botafumeiro ist ein etwa \(1,60\rm{m}\) großes und \(54\rm{kg}\) schweres Weihrauchfass, das zu den Hauptattraktionen der Kathedrale von Santiago de Compostela, dem Zielort des Jakobsweges, gehört. Der Botafumeiro hängt an einem etwa \(30\rm{m}\) langen Seil und wird zu besonderen Anlässen von acht Männern in Bewegung gesetzt. Dabei schwingt er bis hoch unter die Decke und erreicht Geschwindigkeiten von bis zu \(65\rm{\frac{km}{h}}\). Am Tiefpunkt der Kreisbahn berührt er beinahe den Boden. Um dem Weihrauchfass nach und nach die notwendige Energie zu geben, verkürzen die Männer das Seil durch Ziehen beim Durchgang durch den Tiefpunkt etwas nach oben und lassen es bei der maximalen Auslenkung wieder um die gleiche Strecke los, wodurch die tatsächliche Bewegung von einer Kreisbahn geringfügig abweicht.

m
L
φo
dL
Senk-/Hebevorgänge pro Periode
φmax
vmax
HTML5-Canvas nicht unterstützt!
1 Bewegung des Botafumeiro. Die verschiedenen Parameter lassen sich in gewissen Grenzen verändern und die Auswirkung auf die Schwingung des Botafumeiro untersuchen

Sowohl im Video als auch in der Simulation kannst du erkennen, dass der Botafumeiro durch das Absenken und Anheben immer höher schwingt und am tiefsten Punkt der Bewegung auch immer schneller wird. Dies kann nur durch Energiezufuhr geschehen. Das Ziel der folgenden Aufgabe ist, dass du zum einen verstehst, wie dem System durch Absenken und Anheben Energie zugeführt wird. Zum anderen wollen wir eine Formel entwickeln, mit der wir berechnen können, um wie viel Grad der Botafumeiro durch einen Senk-/Hebevorgang weiter ausgelenkt wird.

Wenn du in der Simulation \(m=54\rm{kg}\), \(L=29\rm{m}\), \(\Delta L=2,0\rm{m}\) und \({\varphi _0} = 15^\circ \) und einen Senk-/Hebevorgang pro Periode wählst, kannst du die Rechnungen anhand der in der Simulation links unten angezeigten Werte gut nachvollziehen.

Aufgabe

Butafumeiro Bild 1
Abbildung 1: Darstellung des Bewegungsverlaufs

Der Schwerpunkt des Botafumeiro soll sich idealisiert längs der Linie A-B-C-D-E-A bewegen (vgl. Abb. 1).

Gib an, zwischen welchen Punkten dem System Energie entnommen und zwischen welchen Punkten dem System Energie zugeführt wird.

Erläutere weiter, in welchen Energieformen dem System Energie entnommen oder zugeführt wird. Achte dabei insbesondere auf die Höhe des Botafumeiros über dem Erdboden (Punkt C) und den in der Simulation ganz links unten angezeigten Wert für die maximale Geschwindigkeit \({v _{{\rm{max}}}}\) des Butafumeiro.

Lösung

Butafumeiro Bild 2
Abbildung 2: Darstellung der Höhe des Butafumeiro über dem Erdboden

Wir wählen zur Darstellung den Erdboden (Punkt C) als Nullpunkt der potenziellen Energie. Die jeweiligen Höhen des Botafumeiro über dem Erdboden sind grün markiert (vgl. Abb. 2).

Dem System wird beim Absenken zwischen den Punkte A und B Energie entnommen. Es handelt sich dabei um potenzielle Energie, da sich der Botafumeiro nach dem Absenken weniger hoch über dem Erdboden befindet als vorher. Wir bezeichnen diese Energie im Folgenden mit \(\Delta {E_{{\rm{AB}}}}\).  Da der Botafumeiro vor, während und nach dem Absenken ruht, kann keine kinetische Energie entnommen werden.

Dem System wird dagegen beim Anheben zwischen den Punkten C und D Energie zugeführt. Wir bezeichnen diese Energie im Folgenden mit \(\Delta {E_{{\rm{CD}}}}\). Es handelt sich dabei zum einen um potenzielle Energie, da sich der Botafumeiro nach dem Anheben um \(\Delta L\) höher über dem Erdboden befindet als vorhher.

Da der Botafumeiro nach dem Anheben aber eine größere Geschwindigkeit als vorher hat, muss ihm während des Anhebens auch noch kinetische Energie zugeführt werden. Wie ist dies möglich?

Die gesamte Energiezufuhr zwischen den Punkten C und D geschieht durch das Verrichten einer Arbeit \(W_{\rm{CD}}\) beim Anheben. Dabei muss man über die Strecke \(\Delta L\) hinweg eine Kraft aufbringen. Diese Kraft setzt sich nun aus zwei Anteilen zusammen: Zum einen muss man beim Anheben die Gewichtskraft mit dem Betrag \(F_{\rm{G}}\) des Botafumeiro kompensieren. Damit haben wir einen ersten Anteil an verrichteter Arbeit, der in potenzielle Energie umgewandelt wird.

Aber auf den Botafumeiro wirkt im Punkt C noch eine zweite Kraft, nämlich die Zentripetalkraft mit dem Betrag \(F_{\rm{ZP,C}}\), die den Botafumeiro auf seiner Kreisbahn hält. Auch diese Kraft muss man beim Anheben aufbringen. Damit haben wir den zweiten Anteil der verrichteten Arbeit, der in zusätzliche kinetische Energie umgewandelt wird. Alles klar!

Die Gewichtskraft des Botafumeiro ist während des Anhebens konstant. Wir nehmen nun als Näherung an, dass die Zentripetalkraft während des Anhebens ebenfalls konstant bleibt (Dies ist deshalb nicht korrekt, weil sich während des Anhebens bereits die Geschwindigkeit des Botafumeiro vergrößert und sich gleichzeitig der Radius seiner Kreisbahn verkleinert; der Fehler ist aber gering). Damit ergibt sich\[\Delta {E_{\rm{CD}}}=W_{\rm{CD}} = {F_{ges}} \cdot s = \left( {{F_{\rm{G}}} + {F_{{\rm{ZP}}}}} \right) \cdot \Delta L\]

Unser erstes Ziel wird es nun sein, die beiden Größen \(\Delta {E_{{\rm{AB}}}}\) und \(\Delta {E_{\rm{CD}}}\) berechnen zu können - ihre Differenz ist dann die Energiezufuhr in das System während eines Durchlaufs.

Butafumeiro Bild 4
Abbildung 3: Skizze zur Berechnung von \(\Delta h_{\rm{AB}}\)

Wir beginnen mit der Energie \(\Delta {E_{{\rm{AB}}}}\), die dem System beim Absenken des Botafumeiro vom Punkt A zum Punkt B entnommen wird.

Leite mit Hilfe von Abb. 3 einen Term für die Energie \(\Delta E_{\rm{AB}}\) her.

Berechne den Wert für \(\Delta E_{\rm{AB}}\) für \(m=54\rm{kg}\), \(L=29\rm{m}\), \(\Delta L=2,0\rm{m}\) und \({\varphi _{\rm{A}}} = 15^\circ \).

Lösung

In dem kleinen rechtwinkligen Dreick mit den Eckpunkten A und B und den Seitenlängen \(\Delta L\) und \(\Delta h_{\rm{AB}}\) hat der am Punkt A liegende Winkel die Winkelweite \(\varphi_{\rm{A}}\). Nach dem Cosinussatz im rechtwinkligen Dreieck gilt deshalb\[\cos \left( {{\varphi _{\rm{A}}}} \right) = \frac{{\Delta {h_{{\rm{AB}}}}}}{{\Delta L}} \Leftrightarrow \Delta {h_{{\rm{AB}}}} = \Delta L \cdot \cos \left( {{\varphi _{\rm{A}}}} \right)\]Damit ergibt sich für die Energie \(\Delta E_{\rm{AB}}\)\[\Delta {E_{{\rm{AB}}}} = m \cdot g \cdot \Delta {h_{{\rm{AB}}}} = m \cdot g \cdot \Delta L \cdot \cos \left( {{\varphi _{\rm{A}}}} \right)\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[\Delta {E_{{\rm{AB}}}} = 54{\rm{kg}} \cdot 9,8\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot 2,0{\rm{m}} \cdot \cos \left( {15^\circ } \right) = 1022{\rm{J}}\]

Botafumeiro Bild 6
Abbildung 4: Skizze zur Berechnung von \(h_{\rm{B}}\)
Zum Berechnen der Energie \(\Delta {E_{{\rm{CD}}}}\), die dem System beim Anheben des Botafumeiro vom Punkt C zum Punkt D zugeführt wird, benötigen wir den Betrag \(F_{\rm{ZP,C}}\) der Zentripetalkraft am Punkt C.

a) Leite mit Hilfe von Abb. 4 einen Term für die Energie \(\Delta E_{\rm{B}}\) des Systems im Punkt B her.

b) Zeige des Energieerhaltungssatz zwischen den Punkten B und C, dass sich der Betrag \(F_{\rm{ZP,C}}\) der Zentripetalkraft am Punkt C durch den Term \({F_{{\rm{ZP}}}} = 2 \cdot m \cdot g \cdot \left( {1 - \cos \left( {{\varphi _{\rm{A}}}} \right)} \right)\) berechnen lässt.

Lösung

a) Aus Abb. 4 entnimmt man\[\cos \left( {{\varphi _{\rm{A}}}} \right) = \frac{{\left( {L + \Delta L} \right) - {h_{\rm{B}}}}}{{L + \Delta L}} \Leftrightarrow \left( {L + \Delta L} \right) \cdot \cos \left( {{\varphi _{\rm{A}}}} \right) = \left( {L + \Delta L} \right) - {h_{\rm{B}}} \Leftrightarrow {h_{\rm{B}}} = \left( {L + \Delta L} \right) \cdot \left( {1 - \cos \left( {{\varphi _{\rm{A}}}} \right)} \right)\]

b) Nach dem Energieerhaltungssatz ist die potenzielle Energie des Systems im Punkt B gleich der kinetischen Energie des Systems im Punkt C. Damit ergibt sich\[\begin{eqnarray}{E_{{\rm{pot,B}}}} &=& {E_{{\rm{kin,C}}}}\\m \cdot g \cdot {h_{\rm{B}}} &=& \frac{1}{2} \cdot m \cdot v_{\rm{C}}^2\\m \cdot g \cdot \left( {L + \Delta L} \right) \cdot \left( {1 - \cos \left( {{\varphi _{\rm{A}}}} \right)} \right) &=& \frac{1}{2} \cdot m \cdot v_{\rm{C}}^2\\2 \cdot m \cdot g \cdot \left( {1 - \cos \left( {{\varphi _{\rm{A}}}} \right)} \right) &=& \frac{{m \cdot v_{\rm{C}}^2}}{{\left( {L + \Delta L} \right)}} = {F_{{\rm{ZP}}{\rm{,C}}}}\end{eqnarray}\]

Nun berechnen wir die Energie \(\Delta {E_{{\rm{CD}}}}\), die dem System beim Anheben des Botafumeiro vom Punkt C zum Punkt D hinzugefügt wird. Wie bereits gesagt gilt \(\Delta {E_{\rm{CD}}}=W_{\rm{CD}} = {F_{\rm{ges}}} \cdot s = \left( {{F_{\rm{G}}} + {F_{{\rm{ZP}}}}} \right) \cdot \Delta L\)

Leite einen Term für die Energie \(\Delta E_{\rm{CD}}\) her.

Berechne den Wert für \(\Delta E_{\rm{CD}}\) für \(m=54\rm{kg}\), \(L=29\rm{m}\), \(\Delta L=2,0\rm{m}\) und \({\varphi _{\rm{A}}} = 15^\circ \).

Lösung

\[\begin{eqnarray}\Delta {E_{{\rm{CD}}}} &=& \left( {{F_{\rm{G}}} + {F_{{\rm{ZP}}}}} \right) \cdot \Delta L\\ &=& \left( {m \cdot g + 2 \cdot m \cdot g \cdot \left( {1 - \cos \left( {{\varphi _{\rm{A}}}} \right)} \right)} \right) \cdot \Delta L\\ &=& m \cdot g \cdot \left( {1 + 2 - 2 \cdot \cos \left( {{\varphi _{\rm{A}}}} \right)} \right) \cdot \Delta L\\ &=& m \cdot g \cdot \Delta L \cdot \left( {3 - 2 \cdot \cos \left( {{\varphi _{\rm{A}}}} \right)} \right) \end{eqnarray}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[\Delta {E_{{\rm{CD}}}} = 54{\rm{kg}} \cdot 9,8\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot 2,0{\rm{m}} \cdot \left( {3 - 2 \cdot \cos \left( {15^\circ } \right)} \right) = 1130{\rm{J}}\]

Leite einen Term zur Berechnung der Energie \(\Delta E_{\rm{ges}}=\Delta {E_{{\rm{CD}}}}-\Delta {E_{{\rm{AB}}}}\) her.

Berechne den Wert für \(\Delta E_{\rm{ges}}\) für \(m=54\rm{kg}\), \(L=29\rm{m}\), \(\Delta L=2,0\rm{m}\) und \({\varphi _{\rm{A}}} = 15^\circ \).

Lösung

Aus den bisherigen Ergebnissen erhält man\[\begin{eqnarray}\Delta {E_{ges}} &=& \Delta {E_{{\rm{CD}}}} - \Delta {E_{{\rm{AB}}}}\\ &=& m \cdot g \cdot \Delta L \cdot \left( {3 - 2 \cdot \cos \left( {{\varphi _{\rm{A}}}} \right)} \right) - m \cdot g \cdot \Delta L \cdot \cos \left( {{\varphi _{\rm{A}}}} \right)\\ &=& m \cdot g \cdot \Delta L \cdot \left( {3 - 2 \cdot \cos \left( {{\varphi _{\rm{A}}}} \right) - \cos \left( {{\varphi _{\rm{A}}}} \right)} \right)\\ &=& m \cdot g \cdot \Delta L \cdot \left( {3 - 3 \cdot \cos \left( {{\varphi _{\rm{A}}}} \right)} \right)\\ &=& 3 \cdot m \cdot g \cdot \Delta L \cdot \left( {1 - \cos \left( {{\varphi _{\rm{A}}}} \right)} \right)\end{eqnarray}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[\Delta {E_{ges}} = 3 \cdot 54{\rm{kg}} \cdot 9,8\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot 2,0{\rm{m}} \cdot \left( {1 - \cos \left( {15^\circ } \right)} \right) = 108{\rm{J}}\]

Schließlich wollen wir die neue maximale Auslenkung des Botafumeiro berechnen. Dies machen wir wieder mit dem Energieerhaltungssatz.

Butafumeiro Bild 3
Abbildung 5: Skizze zur Berechnung von \(h_{\rm{A}}\)
a) Leite mit Hilfe von Abb. 5 einen Term für die potenzielle Energie \({E_{{\rm{pot,A}}}}\) des Systems in Punkt A her.

b) Leite einen Term für die Gesamtenergie des Systems in Punkt D her.

Botafumeiro Bild 5
Abbildung 6: Skizze zur Berechnung von \(h_{\rm{E}}\)
c) Leite mit Hilfe von Abb. 6 einen Term für die potenzielle Energie \({E_{{\rm{pot,E}}}}\) des Systems in Punkt E her.

d) Leite mit Hilfe des Energieerhaltungssatzes einen Term für die Winkelweite \({{\varphi _{\rm{E}}}}\) her.

e) Berechne die Winkelweite \({{\varphi _{\rm{E}}}}\) für \(m=54\rm{kg}\), \(L=29\rm{m}\), \(\Delta L=2,0\rm{m}\) und \({\varphi _{\rm{A}}} = 15^\circ \) und vergleiche das Ergebnis mit der Winkelweite, die die Simulation anzeigt.

Lösung

a) Aus Abb. 5 entnimmt man\[\cos \left( {{\varphi _{\rm{A}}}} \right) = \frac{{L - \Delta {h_{\rm{A}}}}}{L} \Leftrightarrow \Delta {h_{\rm{A}}} = L \cdot \left( {1 - \cos \left( {{\varphi _{\rm{A}}}} \right)} \right) \Rightarrow {h_{\rm{A}}} = L \cdot \left( {1 - \cos \left( {{\varphi _{\rm{A}}}} \right)} \right) + \Delta L\]Damit ergibt sich für die potenzielle Energie des Systems im Punkt A der Term\[{E_{{\rm{pot,A}}}} = m \cdot g \cdot {h_{\rm{A}}} = m \cdot g \cdot L \cdot \left( {1 - \cos \left( {{\varphi _{\rm{A}}}} \right)} \right) + m \cdot g \cdot \Delta L\] b) Die Gesamtenergie \(E_{\rm{D}}\) des Systems am Punkt D ist die Summe aus der potenziellen Energie des Systems im Punkt A und der Energie \(\Delta {E_{ges}}\), die dem System zwischen den Punkten A und D insgesamt hinzugefügt wird . Damit ergibt sich\[\begin{eqnarray}{E_{\rm{D}}} &=& {E_{{\rm{pot,A}}}} + \Delta {E_{ges}}\\ &=& m \cdot g \cdot L \cdot \left( {1 - \cos \left( {{\varphi _{\rm{A}}}} \right)} \right) +m \cdot g \cdot \Delta L + 3 \cdot m \cdot g \cdot \Delta L \cdot \left( {1 - \cos \left( {{\varphi _{\rm{A}}}} \right)} \right)\\ &=& m \cdot g \cdot \left( {1 - \cos \left( {{\varphi _{\rm{A}}}} \right)} \right) \cdot \left( {L + 3 \cdot \Delta L} \right) + m \cdot g \cdot \Delta L \quad(1)\end{eqnarray}\]c) Aus der Abb. 6 entnimmt man\[\cos \left( {{\varphi _{\rm{E}}}} \right) = \frac{{L - {h_{\rm{E}}}}}{L} \Leftrightarrow {h_{\rm{E}}} = L \cdot \left( {1 - \cos \left( {{\varphi _{\rm{E}}}} \right)} \right)+\Delta L\]Damit ergibt sich für die potenzielle Energie des Systems im Punkt E der Term\[{E_{{\rm{pot,E}}}} = m \cdot g \cdot {h_{\rm{E}}} = m \cdot g \cdot L \cdot \left( {1 - \cos \left( {{\varphi _{\rm{E}}}} \right) } \right)+ m \cdot g \cdot \Delta L\quad(2)\]d) Aufgrund des Energieerhaltungssatzes kann man die beiden Terme \((1)\) und \((2)\) gleichsetzen und erhält\[\begin{eqnarray}{E_{{\rm{pot,E}}}} &=& {E_{\rm{D}}}\\ m \cdot g \cdot L \cdot \left( {1 - \cos \left( {{\varphi _{\rm{E}}}} \right)} \right) + m \cdot g \cdot \Delta L &=& m \cdot g \cdot \left( {1 - \cos \left( {{\varphi _{\rm{A}}}} \right)} \right) \cdot \left( {L + 3 \cdot \Delta L} \right)+ m \cdot g \cdot \Delta L\\ L \cdot \left( {1 - \cos \left( {{\varphi _{\rm{E}}}} \right)} \right) &=& \left( {1 - \cos \left( {{\varphi _{\rm{A}}}} \right)} \right) \cdot \left( {L + 3 \cdot \Delta L} \right)\\ \cos \left( {{\varphi _{\rm{E}}}} \right) &=& 1 - \left( {1 - \cos \left( {{\varphi _{\rm{A}}}} \right)} \right) \cdot \frac{{\left( {L + 3 \cdot \Delta L} \right)}}{L}\end{eqnarray}\]e) Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[\cos \left( {{\varphi _{\rm{E}}}} \right) = 1 - \left( {1 - \cos \left( {15^\circ } \right)} \right) \cdot \frac{{\left( {29{\rm{m}} + 3 \cdot 2,0{\rm{m}}} \right)}}{{29{\rm{m}}}} = 0,9589 \Rightarrow {\varphi _{\rm{E}}} = 16,5^\circ \]Der berechnete und der von der Simulation angezeigte Wert stimmen überein.

Überhöhte Kurven bei Bob- und Rodelbahnen

Der Bob- und Rodelsport ist eine in Bayern beliebte Sportart, die viel Mut, aber auch physikalisches Verständnis fordert.

Beim Durchfahren einer Kurve mit Radius \(r\) benötigt der Bob eine Zentripetalkraft \({\vec F_{{\rm{ZP}}}}\).

Diese Zentripetalkraft \({\vec F_{{\rm{ZP}}}}\) resultiert aus der Gewichtskraft \({\vec F_{\rm{G}}}\) und der Kraft der Bobbahn  \({\vec F_{\rm{B}}}\) auf die Kufen. Wirkt wie hier die Kraft auf die Kufen senkrecht zu Unterlage, so wirkt auf die Kufen keine seitliche Kraft, sie rutschen nicht seitlich und bremsen dadurch nicht.

Ist der Bob zu hoch in der Kurve, wirkt die Kraft \({\vec F_{\rm{B}}}\) schräg auf die Kufen. Es ist ein seitlicher Druck der Unterlage gegen die Kufen notwendig, der den Bob oben hält. Diese seitliche Kraft bringt den Bob zum Rutschen und bremst ihn.

Ist der Bob zu tief in der Kurve, wirkt die Kraft \({\vec F_{\rm{B}}}\) ebenfalls schräg auf die Kufen. Der Bob muss durch die Unterlage seitlich gehalten werden, um nicht nach außen zu driften, was er aber geringfügig macht und was ihn bremst.

Der Fahrer muss so fahren, dass möglichst wenig seitliche Kräfte auf die Kufen wirken. Er erkennt dies daran, dass die auf ihn wirkende Kraft immer möglichst genau in den Sitz nach unten und nicht seitlich gegen eine der Seitenwände drückt.

Abflachung der Erde

Die Erde ist eine flüssige Kugel mit einer festen Kruste. Die Oberfläche dieser Flüssigkeitskugel verschiebt sich so lange, bis sie senkrecht auf den resultierenden Kräften steht. Steht die Oberfläche nicht senkrecht auf den resultierenden Kräfte, so wirkt auf die flüssigen Teile der Oberfläche eine Hangabtriebskraft, die diese Massepunkte verschiebt.

Auf die Körper auf der Erdoberfläche wirken die Gravitationskräfte FG.
Außer an Nord und Südpol wird ein Teil der Gravitationskräfte verwendet um die Teilchen auf der Kreisbahn zu halten (Die Zentripetalkraft ist also eine Komponente der Gravitationskraft).
Diese Komponente der Gravitationskraft wird zum Halten der Massestücke auf der Kreisbahn verwendet und bestimmt dadurch nicht mehr die Form der Oberfläche.
Die Oberfläche der Erde steht deshalb auf dem (vektoriellen) Rest der Gravitationskraft senkrecht.
Diesen Rest erhält man leichter, wenn man zur Gravitationskraft FG die Gegenkraft der Zentripetalkraft, also die Zentrifugalkraft FZF addiert, wie links gezeigt. Die resultierende FRes dieser beiden Kräfte bestimmt die Richtung der Erdoberfläche.

Die genaue Berechnung dieser theoretischen Erdoberfläche (Erdellipsoids) ist für die 11. Klasse zu schwierig, aber eine Abschätzung der Kräfte ist möglich. So gilt:

Drehradius r eines Orts mit der geographischen Breite φ r = R·cosφ
Zentrifugalbeschleunigung aZF aZF = r·ω2

Ein Zahlenbeispiel:
Für φ = 45° gilt: r = 6370 km · cos 45° = 4500 km, daraus errechnet sich eine Zentrifugalbeschleunigung aZF = 4,5 · 106 m·(7,27 ·10-5 s-1)2 = 0,024 ms-2
Daraus erkennt man, dass die Zentrifugalkraft auf der Erdoberfläche nur wenige Promille der Gravitationskraft ausmacht, der Abflachungseffekt also gering ist.

Anmerkung zur wahren Gestalt der Erde:
In Wirklichkeit ist die idealisierte Erdoberfläche viel komplizierter, da das Erdinnere kein homogenes Material ist. Man nennt die wahre idealisierte Erdform Geoid. Der Geoid ist die gedachte Fortsetzung des spiegelglatten Ozeans unter allen Kontinenten. Auf seiner Oberfläche steht das aktuelle Lot stets senkrecht.
Die Geoidoberfläche wird durch die Abstände von der Referenzoberfläche des errechneten Erdelliploids definiert. Die größte negative Abweichung ist im indischen Ozean mit -106 m, die höchste Abweichung liegt bei + 85 m.

Corioliskraft

Professor Harlad Lesch hält im Rahmen der Sendereihe Alpha Centauri des BR einen Vortrag über die Corioliskraft. Diese Kraft hat im Naturgeschehen eine große Bedeutung (z.B. beim Wetter), leider jedoch nicht mehr in den meisten Lehrplänen für das  Gymnasium.

Oktoberfest

Die Kreisbewegung mit ihren Schwindel erregenden Kräften hat die Schausteller animiert. Wer hat den Mut, mit so etwas zu fahren, welche Kräfte wirken?

Frisbee

"Frisbee" ist eine Art monströse Schiffschaukel; auf einem riesigen Drehteller sitzen die Mutigen, angeschnallt, zwischen Körper- und Kopfstützen eingezwängt, als würden sie in den Weltraum geschossen. Das Super-Gerät wirbelt und dreht alle Mitfahrenden in großen Schwüngen durch die Luft.

Night Fly

Im "Night Fly" hängt man mit dem Kopf nach unten und wird mächtig durchgerüttelt und durchgeschüttelt. Links herum, rechts rum, in alle nur denkbaren Richtungen. Brechreiz bekommen manche schon beim Zusehen.

Looping

Im "Looping" dreht ein Flieger mit seinen Gästen gut fixiert an einer starren Achse einen Looping.

Rotor

Der "Rotor", der Klassiker unter den Fahrgeschäften so aktuell wie eh und je - ein echter Evergreen. Eine überdimensionale Waschtrommel dreht sich so schnell, daß die Leute an der Wand kleben bleiben, wenn ihnen der Boden unter den Füßen entzogen wird. Seit Jahrzehnten gehört dieses kombinierte Fahr- und Show-Geschäft schon zum festen Inventar vieler großer Volksfeste.

 

bb

Top-Spin

Der "Top-Spin" ist eine supergroße Hollywood-Schaukel, die sich aber ständig überschlägt. Der spontane Gedanke: hoffentlich funktionieren die Haltebügel.

Diese Karussellidee ist die wohl größte - auch von den Ausmaßen - Loopingorgie unter der Kirmessonne. Zwei miteinander fest verbundene Drehträger halten die frei drehbare Gondel, die aber mit einer Bremse ausgestattet ist. Durch geschickte Kombination der Drehung und dieser Gondelbremse können sowohl große als auch viele kleine Loopings erzeugt werden.

Die kleinen Loopings erreichen eine Spitzengeschwindigkeit von fast \(30\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\). Das gesamte Geschäft ist \(19\rm{m}\) hoch.

Riesenrad

Ein riesiges "Riesenrad" bringt die Gäste in 42 Gondeln auf atemberaubende und Aussicht gewährende Höhe von \(60\rm{m}\). Zum Transport werden 28 Eisenbahnwaggons benötigt. Die 2 der 4 Stützbeine auf denen die Radnabe ruht, dienen gleichzeitig als Kran zum Aufrichten der Stützkonstruktion. 14, zu Kästen verschweißte Speichen bilden die Radkonstruktion und stützen den Ring, an den die 42 Gondeln gehängt werden. Die normale Aufbauzeit dauert 6 Tage, der Abbau 3 Tage.

Euro-Star

In verrückten Looping-Schleifen rasen beim "Euro-Star" die Wagen über die Strecke. Sie drehen sich dabei, um alles noch verrückter zu machen, auch noch schraubenartig in sich selbst ...

Teufelsrad

Das "Teufelsrad" ist eher eine der Vergnügungen aus den Anfangszeiten der Technik. Wer selbst mitmacht, setzt sich auf eine drehende abschüssige Holzscheibe und versucht, dem mächtigen, über ihm schwingenden Box-Sack auszuweichen. Die anderen sind nur Zuschauer und johlen, wenn der letzte von diesem Sack so getroffen wird, dass er von der Drehscheibe fliegt.

Pitt's Todeswand

In "Pitt´s Todeswand" fahren Motorradfahrer hoch in der Steilwand, an den senkrechten Wänden eines mit Holzbohlen belegten Zylinders von ca. \(12\rm{m}\) Durchmesser im Kreis und machen dabei akrobatische Figuren. Die Zuschauer schauen von oben in den Todeskessel in dem zum Teil mehrere Motorräder gleichzeitig umeinander herumfahren. Ein lautes und nervenaufreibendes Spektakel.

Wilde Maus

In der "Wilden Maus" jagt man in kleinen Wägelchen durch den zackigen Kurs dieser Achterbahn. Hoch rauf und mit viel Schwung tief runter. Die Schreie, teils aus Angst und teils aus Vergnügen, sind weithin hörbar...

Olympialooping

Der "Olympia-Looping" ist eine Achterbahn mit der aufregenden Besonderheit: die Wagen rasen mit \(100\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\) in die Tiefe und machen anschließend zweimal eine Looping-Schleife, d.h. die Mitfahrenden haben das intensive Vergnügen, mehrmals auf dem Kopf zu stehen.

Magic Mountain

Das "Magic Mountain" ist eine klassische große Achterbahn.

Kettenkarussell

Wem das Geruckel in den anderen Fahrgeschäften zu viel ist, dem sei das Kettenkarussell empfohlen. Dieses Fahrgeschäft bedarf keiner Erklärung, außer sich hineinzusetzen und zu genießen.

Zentrifugalkraft

Beschreiben wir die Kreisbewegung eines Körpers vom Laborsystem aus (d.h. wir betrachten die Kreisbewegung von außen), so müssen wir von einer Zentripetalkraft auf den Körper ausgehen. Wäre diese zum Mittelpunkt der Kreisbewegung gerichtete Kraft nicht vorhanden, so würde der Körper nach dem Trägheitssatz in Tangentenrichtung wegfliegen.

Der Betrachter, der sich noch nicht sehr intensiv mit der Kreisbewegung auseinandergesetzt hat, wird bei der Frage nach den Kräften bei der Kreisbewegung zunächst von der nach außen gerichteten Zentrifugalkraft sprechen, die er schon bei Kurvenfahrten selbst empfunden hat. Dies ist für einen Beobachter richtig, der sich in einem beschleunigten (rotierenden) Bezugssystem befindet und alles was er darin beobachtet und misst auf dieses System bezieht. Der Autofahrer ist bei einer Kurvenfahrt in dem beschleunigten Bezugssystem Auto.

Stellen Sie sich ein kleines Männchen vor, das auf einer gleichförmig kreisenden Kugel sitzt. Es spürt, dass für die Ausführung der Kreisbewegung eine zum Mittelpunkt ziehende Zentripetalkraft wirkt, die am Hosenboden angreift. Wäre diese Kraft nicht, würde das Männchen von einer weiteren Kraft der Zentrifugalkraft (lat. fuga = Flucht) von der Kugel herunter nach außen gezogen. Zentrifugalkraft und Zentripetalkraft bewirken für das Männchen ein Kräftegleichgewicht, das es ihm ermöglicht ruhig auf der Kugel zu sitzen. Das Männchen empfindet also bei wachsender Winkelgeschwindigkeit oder wachsendem Abstand vom Mittelpunkt eine wachsende Zentrifugalkraft, die es durch stärkeres Festhalten auf der Unterlage auszugleichen gilt.

 

Merke: Zur Beschreibung der gleichförmigen Kreisbewegung benötigt

der Beobachter im Laborsystem
nur die Zentripetalkraft
der Beobachter im rotierenden System
die Zentripetalkraft und die Zentrifugalkraft

Zum prinzipiellen Unterschied zwischen dem beschleunigten und nicht beschleunigten Bezugssystem:

Die Zentrifugalkraft ist eine Kraft, die der Beschleunigung des Bezugssystems entgegengerichtet ist. Man bezeichnet sie als Trägheitskraft, sie ist im beschleunigten System direkt zu messen. Oft nennt man solche Trägheitskräfte auch Scheinkräfte, da sie im nicht beschleunigten System nicht erkennbar sind.

Das beschleunigte Bezugssystem birgt allerdings das Problem, dass die Newtonschen Gesetze nicht mehr uneingeschränkt gelten: Das 3. Gesetz von Newton besagt, dass zu jeder Kraft an einem Körper eine Gegenkraft an einem anderen Körper existieren muss. Dies ist für Scheinkräfte nicht erfüllt, sie haben keine "reactio". Auch die gleichförmige geradlinige Bewegung eines im Kräftegleichgewicht befindlichen Körpers ist in einem beschleunigten Bezugsystem nicht gegeben.

In nicht beschleunigten Bezugssystemen hingegen gelten alle Gesetze von Newton. Man nennt solche Systeme Inertialsysteme. (lat. inertia = Trägheit)

Erläuterung:
Ein Reisender, der in einem anfahrenden Zug sitzt, beobachtet, dass sich der Bahnhof in horizontaler Richtung beschleunigt bewegt, obwohl auf den Bahnhof keine Kraft in horizontaler Richtung wirkt und ein über ihm gleichförmig quer zur Bahnrichtung fliegender Vogel durchfliegt eine Kurvenbahn. Im beschleunigten Bezugssystem gilt also der Trägheitssatz nicht, wohl aber im Inertialsystem.

Technische Anwendungen bei denen die Zentrifugalkraft ausgenützt wird sind zum Beispiel Zentrifugen.

 

Zentrifugen

Geräte zur Trennung heterogener Gemische (flüssig-fest; flüssig-flüssig; gasförmig-gasförmig) unter der Ausnutzung der Zentrifugalkraft (\({F_{ZF}} = m \cdot {\omega ^2} \cdot r\)) in rotierenden, meist trommelförmigen Gefäßen nennt man Zentrifugen. Beispiele für Zentrifugen sind

Wäscheschleuder

Die nasse Wäsche befindet sich in einer Trommel, deren Wandung Löcher besitzt. Bei schneller Drehung der Trommel wird das Wasser an die Trommelwand getrieben und fliegt durch die Löcher heraus. Typische Drehfrequenz: 800 – 1000 Umdrehungen/Minute.

Milchzentrifuge

Die Vollmilch fließt längs der gestrichelten Pfeile in die Zentrifuge und wird in schnelle Rotation versetzt. Die spezifisch schwerere Magermilch wird durch die trichterförmigen Bleche nach unten in Richtung Gefäßwand getrieben. Der spezifisch leichtere Rahm bleibt in der Nähe der Drehachse. Typische Drehfrequenz: 9000 Umdrehungen/Minute.

Ultrazentrifuge

Zentrifugen mit Drehzahlen bis zu 1000000 Umdrehungen/Minute. In diesen Zentrifugen kann die Zentrifugalkraft das Millionenfache der Schwerkraft erreichen. Damit gelingt es z.B. in einer Flüssigkeit enthaltene kleinste Bakterien, ja sogar schon Makromoleküle am Rande der Trommel anzureichern. Aus der Absetzgeschwindigkeit (Sedimentationsgeschwindigkeit) kann man auf die Größe der Teilchen schließen bzw. ihr Molekülgewicht berechnen.

Für die Spaltreaktionen in Kernreaktoren benötigt man das nur zu 0,3% in der Natur vorkommende 235U Uranisotop. Weit häufiger kommt das geringfügig schwerere Uranisotop 238U im natürlichen Isotopengemisch vor. Um die beiden Uranisotope zu trennen, führt man sie in die gasförmige Verbindung UF6 über (Uranhexafluorid) und beschickt eine Ultrazentrifuge mit dem Gas. Durch die höhere Zentrifugalkraft die auf die 238UF6-Moleküle wirkt, werden diese außen angereichert, während die 235UF6-Moleküle in Achsennähe bleiben. Bei diesen Ultrazentrifugen werden Umlaufgeschwindigkeiten in der Größenordnung von 500 m/s erreicht.

 

Künstliche Gravitation

Lange Aufenthalte in der Schwerelosigkeit bedingen gesundheitliche Probleme. So nimmt z.B. die Knochendichte stark ab, die Muskelmasse schwindet und Herz-Kreislauf-Probleme können auftreten, wenn nicht ständig Trainingsmaßnahmen durchgeführt werden.

Ein Vorschlag, auf künstliche Weise Gravitation herzustellen, ist die Rotation einer Raumstation. Aufgrund der Fliehkraft werden die Astronauten an die Außenwand der Raumstation gedrückt.

Aus der Formel \({a_{{\rm{ZF}}}} = {\omega ^2} \cdot r\) für die Zentrifugalbeschleunigung ersieht man, dass diese mit der Rotationsfrequenz \(\omega \) und dem Radius \(r\) wächst. Um am Rand des Torus der nebenstehend dargestellten Raumstation die Erdbeschleunigung \(g\) zu erzeugen, muss man nur eine geeignete Kombination von \(\omega \) und \(r\) wählen. Aus Gründen der Materialersparnis sollte \(r\) nicht zu groß gewählt werden. Dies bedingt jedoch dann eine höhere Rotationsfrequenz. Wie im Folgenden erläutert wird, haben zu hohe Rotationsfrequenzen u.U. jedoch unerwünschte Nebenwirkungen.

Neben der Fliehkraft tritt in rotierenden Systemen auch noch die sogenannte Corioliskraft auf. Es soll hier nicht detailliert auf die Corioliskraft eingegangen werden. Sie sollten nur wissen, dass diese Kraft bei einem im Gegenuhrzeigersinn rotierenden System zu einer Rechtsablenkung eines bewegten Körpers führt und dass der Betrag der Corioliskraft u.a. von der Winkelgeschwindigkeit \(\omega \), nicht aber vom Radius abhängt. Bei hoher Rotationsfrequenz der Raumstation wächst die Corioliskraft an und man meint, dass dies zu einer Desorientierung der Astronauten führen könnte. Neuere Versuche mit Mäusen lassen aber vermuten, dass die Befürchtungen über die negative Auswirkung der Corioliskraft wahrscheinlich unbegründet sind.

Aufgabe

Man ist der Meinung, dass negative Auswirkungen der Corioliskraft nicht auftreten, wenn die Rotationsdauer der Raumstation etwa \(2,0{\rm{min}}\) beträgt.

a)

Berechnen Sie den Durchmesser, den dann eine torusförmige Raumstation besitzen müsste, damit an ihrem Rand die Zentrifugalbeschleunigung gleich der Erdbeschleunigung ist.

b)

Berechnen Sie, welcher prozentuale Unterschied in der Zentrifugalbeschleunigung bei einem \(h=1,80{\rm{m}}\) großen Astronauten zwischen Kopf und Fuß bestünde, wenn dieser Astronaut in der Station "stehen" würde.

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