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Aufgabe

Zentripetalbschleunigung des Mondes

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Abb. 1 Mond

Die Mondbahn kann nahezu als kreisförmig mit dem Radius \(384\,420\,{\rm{km}}\) betrachtet werden. Während seiner gleichförmigen Bewegung um die Erde erfährt der Mond eine Zentripetalbeschleunigung von \(0{,}00272\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2}\).

a)

Berechne die Winkelgeschwindigkeit des Mondes.

b)

Berechne die Bahngeschwindigkeit des Mondes.

c)

Berechne die Umlaufdauer des Mondes um die Erde.

d)

Untersuche, wie sich die pro Sekunde in Richtung der Bahntangente und in radialer Richtung zurückgelegten Wegstücke zueinander verhalten.

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a)

Mit \(a_{\rm{ZP}}=0{,}00272\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2}\) und \(r=384\,420\,{\rm{km}}=384\,420\,000\,{\rm{m}}\)  nutzen wir die Formel für den Betrag der Zentripetalbeschleunigung mit Winkelgeschwindigkeit\[a_{\rm{ZP}}=\omega^2 \cdot r \Rightarrow \omega=\sqrt{\frac{a_{\rm{ZP}}}{r}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert (bei drei gültigen Ziffern Genauigkeit)\[\omega=\sqrt{ \frac{ 0{,}00272\,\frac{ \rm{m} }{ \rm{s}^2 } }{ 384\,420\,000\,{\rm{m}} } }=2{,}66 \cdot 10^{-6}\,\frac{1}{\rm{s}}\]

b)

Mit \(\omega=2{,}66 \cdot 10^{-6}\,\frac{1}{\rm{s}}\) und \(r=384\,420\,000\,{\rm{m}}\) nutzen wir die Formel für den Zusammenhang von Bahn- und Winkelgeschwindigkeit\[v=\omega \cdot r\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert (bei drei gültigen Ziffern Genauigkeit)\[v=2{,}66 \cdot 10^{-6}\,\frac{1}{\rm{s}} \cdot 384\,420\,000\,{\rm{m}}=1020\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}=3670\,\frac{\rm{km}}{\rm{h}}\]

c)

Mit \(\omega=2{,}66 \cdot 10^{-6}\,\frac{1}{\rm{s}}\) nutzen wir die Formel für die Winkelgeschwindigkeit\[\omega=\frac{2 \, \pi}{T} \Leftrightarrow T=\frac{2 \, \pi}{\omega}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert (bei drei gültigen Ziffern Genauigkeit)\[T=\frac{2 \,\pi}{2{,}66 \cdot 10^{-6}\,\frac{1}{\rm{s}}}=2{,}36 \cdot 10^6\,\rm{s} \approx 27\,\rm{d}\,8\,\rm{h}\]

d)

Die Bewegung in Bahnrichtung ist (nahezu) gleichförmig mit der Bahngeschwindigkeit \(v=1020\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\). Der Mond legt also in Bahnrichtung in einer Sekunde eine Strecke von\[s_{\rm{B}}=1020\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}} \cdot 1\,\rm{s}=1020\,\rm{m}\]zurück.

Die radiale Bewegung ist gleichmäßig beschleunigt mit der Zentripetalbeschleunigung \(a_{\rm{ZP}}=0{,}00272\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2}\). Der Mond legt als in Radialrichtung ein einer Sekunde eine Strecke von\[s_{\rm{R}}=\frac{1}{2} \cdot 0{,}00272\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2} \cdot \left(1\,\rm{s}\right)^2=0{,}00136\,\rm{m}\]zurück.

Das Verhältnis der beiden Strecken ist dann\[\frac{s_{\rm{B}}}{s_{\rm{R}}}=\frac{1020\,\rm{m}}{0{,}00136\,\rm{m}}=750\,000\,:\,1\]

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Mechanik

Kreisbewegung