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Aufgabe

Umlaufdauer und Rotationsfrequenz am Hochrad

Schwierigkeitsgrad: leichte Aufgabe

Ein Hochrad wie in Abb. 1 hat zwei Räder mit unterschiedlichen Durchmessern. Das große Vorderrad hat meist einen Durchmesser zwischen \(100\,\rm{cm}\) und \(150\,\rm{cm}\). Das kleine Hinterrad hat hingegen einen Durchmesser der kleiner als \(56\,\rm{cm}\) ist.

a)
CC0
Abb. 1 Hochrad

Flexon fährt gemütlich auf gerade Strecke auf dem Hochrad. Dabei dreht sich das Ventil des Rades in 30 Sekunden genau 40-mal komplett im Kreis.

Berechne die Umlaufdauer \(T\) des Ventils und die Frequenz \(f\) der Kreisbewegung.

b)

Das Ventil des kleinen Hinterrades hat währenddessen eine Frequenz von \(f=3\,\rm{Hz}\).

Berechne die Umlaufdauer \(T\) des Ventils und gib an, wie oft sich das Ventil in 30 Sekunden komplett im Kreis dreht.

c)

Erläutere jeweils, ob die Frequenz \(f\) bzw. die Umlaufdauer \(T\) eines normalen Fahrrades bei gleicher Fahrgeschwindigkeit wie im Aufgabenteil a) kleiner oder größer ist als die Frequenz bzw. die Umlaufdauer des großen Vorderrades.

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a)

Für die Umlaufdauer \(T\) gilt\[T=\frac{t}{N}\Rightarrow T=\frac{30\,\rm{s}}{40}=\frac{3}{4}\,\rm{s}=0{,}75\,\rm{s}\]Die Frequenz ergibt sich aus\[f=\frac{1}{T}\Rightarrow f=\frac{1}{\frac{3}{4}\,\rm{s}}=\frac{4}{3}\,\frac{1}{\rm{s}}=1{,}33\,\rm{Hz}\]

b)

Die Umlaufdauer ergibt sich aus\[T=\frac{1}{F}\Rightarrow T=\frac{1}{3\,\rm{Hz}}=\frac{1}{3\,\frac{1}{\rm{s}}}=\frac{1}{3}\,\rm{s}\]Um die Anzahl \(N\) der Umdrehungen auszurechnen, musst du die Zeitspanne \(t\) mit der Frequenz \(f\) multiplizieren: \[N=3\,\rm{Hz}\cdot 30\,\rm{s}=90\]Das kleine Hinterrad dreht sich also in 30 Sekunden 90-mal.

c)

Das Rad eines normalen Fahrrades hat einen kleineren Durchmesser als das große Vorderrad des Hochrades. Daher muss es sich bei gleicher Fahrgeschwindigkeit öfters drehen. Die Frequenz \(f\) des normalen Fahrradrades ist daher größer als die Frequenz des großen Hochradrades.

Da die Umlaufdauer gerade der Kehrwert der Frequenz ist, fällt der Vergleich hier gerade umgekehrt aus. Die Umlaufdauer des normalen Fahrradradess ist kleiner als die Umlaufdauer des großen Hochradradeses.

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Mechanik

Kreisbewegung