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Aufgabe

Umlaufdauer eines Kettenkarussells

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

Bei einem Kettenkarussell, das sich gleichförmig dreht, ist \({r_0} = 6{,}0\,{\rm{m}}\) und \(l = 5{,}0\,{\rm{m}}\); der Winkel zwischen der Vertikalen und der Sitzaufhängung beträgt \(\varphi  = 55^\circ \).

a)Berechne die Bahngeschwindigkeit \(v\) des Fahrgastes.

b)Berechne die Umlaufdauer \(T\) und die Drehfrequenz \(f\).

c)Die Masse des Fahrgastes und der Sitzanordnung beträgt \(m=85\,\rm{kg}\).

Berechne den Betrag der Kraft, die am Aufhängepunkt an der Kette angreift.

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a)Am nebenstehenden Kräfteparallelogramm erkennt man
\[\tan \left( \varphi  \right) = \frac{{{F_{{\rm{ZP}}}}}}{{{F_{\rm{G}}}}} = \frac{{{F_{{\rm{ZP}}}}}}{{m \cdot g}} \Leftrightarrow {F_{{\rm{ZP}}}} = m \cdot g \cdot \tan \left( \varphi  \right)\quad(1)\]
Andererseits gilt für die Zentripetalkraft
\[{F_{{\rm{ZP}}}} = m \cdot \frac{{{v^2}}}{r}\quad(2)\]
Gleichsetzen von \((1)\) und \((2)\) ergibt
\[m \cdot \frac{{{v^2}}}{r} = m \cdot g \cdot \tan \left( \varphi  \right) \Leftrightarrow \frac{{{v^2}}}{r} = g \cdot \tan \left( \varphi  \right) \Rightarrow v = \sqrt {r \cdot g \cdot \tan \left( \varphi  \right)} \]
Am Bild in der Aufgabenstellung erkennt man
\[r = {r_0} + l \cdot \sin \left( \varphi  \right)\]
Damit folgt
\[v = \sqrt {\left( {{r_0} + l \cdot \sin \left( \varphi  \right)} \right) \cdot g \cdot \tan \left( \varphi  \right)}  \Rightarrow v = \sqrt {\left( {6,0{\rm{m}} + 5,0{\rm{m}} \cdot \sin \left( {55^\circ } \right)} \right) \cdot 9,81\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot \tan \left( {55^\circ } \right)}  = 12\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} = 43\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\]

b)\[v = \frac{{2 \cdot \pi  \cdot r}}{T} \Leftrightarrow T = \frac{{2 \cdot \pi  \cdot r}}{v} = \frac{{2 \cdot \pi  \cdot \left( {{r_0} + l \cdot \sin \left( \varphi  \right)} \right)}}{v}\]
Einsetzen der gegebenen Werte liefert
\[T = \frac{{2 \cdot \pi  \cdot \left( {6,0{\rm{m}} + 5,0{\rm{m}} \cdot \sin \left( {55^\circ } \right)} \right)}}{{12\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}} = 5,3{\rm{s}}\]
Damit ergibt sich
\[f = \frac{1}{T} \Rightarrow f = \frac{1}{{5,3{\rm{s}}}} = 0,19{\rm{Hz}}\]

c)Am Kräfteparallelogramm oben erkennt man
\[\cos \left( \varphi  \right) = \frac{{{F_{\rm{G}}}}}{F} = \frac{{m \cdot g}}{F} \Leftrightarrow F = \frac{{m \cdot g}}{{\cos \left( \varphi  \right)}} \Rightarrow F = \frac{{85{\rm{kg}} \cdot 9,81\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{kg}}}}}}{{\cos \left( {55^\circ } \right)}} = 1450{\rm{N}}\]