Die in Abb. 1 skizzierte Steilwandarena hat die Form einer Halbkugel mit dem Mittelpunkt \(\rm{O}\) und dem Radius \(R=10\,\rm{m}\) mit aufgesetztem Zylinder. Der Steilwandfahrer und das Motorrad haben zusammen die Masse \(m=200\,\rm{kg}\). Der Steilwandfahrer bewegt sich im unteren Teil der Arena mit seinem Motorrad auf einer horizontalen Kreisbahn. Motorrad und Fahrer befinden sich dabei in jedem Augenblick im Lot zur Wand. Der Schwerpunkt von Motorrad und Fahrer hat von \(\rm{O}\) näherungsweise die Entfernung \(R=10\,\rm{m}\). Die Winkelweite \(\alpha\) beträgt \(60^\circ\).
a)
Fertige eine maßstäbliche Skizze mit den im Schwerpunkt angreifenden Kräften an.
Erläutere anhand deiner Zeichnung, wie in diesem Fall die erforderliche Zentripetalkraft zustande kommt.
b)
Berechne den Betrag der Zentripetalkraft, die für eine stabile Kreisbewegung des Steilwandfahrers notwendig ist.
Berechne auch den Betrag der Normalkraft, mit der die Arenawand am Ort des Steilwandfahrers beansprucht wird.
c)
Berechne die Bahngeschwindigkeit des Steilwandfahrers in \(\frac{\rm{km}}{\rm{h}}\).
Der Steilwandfahrers bewegt sich auf einer horizontalen Kreisbahn. Die Zentripetalkraft \(\vec F_{\rm{ZP}}\) zeigt in Richtung des Mittelpunkts dieses Kreises, also ebenfalls horizontal. Sie ist die vektorielle Summe aus der nach unten gerichteten Gewichtskraft \(\vec F_{\rm{G}}\) des Steilwandfahrers und der Normalkraft \(\vec F_{\rm{N}}\), die die Arenawand auf den Steilwandfahrer ausübt. Die Normalkraft \(\vec F_{\rm{N}}\) stellt sich dabei betraglich genau so ein, dass die erforderliche Zentripetalkraft die korrekte Richtung und den korrekten Betrag hat.
b)
Joachim Herz Stiftung
Abb. 3 Detailskizze
Betrachten wir die Detailskizze in Abb. 3, so erkennen wir dort zwei rechtwinklige Dreiecke. Aus der Trigonometrie erhalten wir für das untere Dreieck\[\tan \left( \alpha \right) = \frac{{{F_{{\rm{ZP}}}}}}{{{F_{\rm{G}}}}} \Leftrightarrow {F_{{\rm{ZP}}}} = \tan \left( \alpha \right) \cdot {F_{\rm{G}}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{F_{{\rm{ZP}}}} = \tan \left( {60^\circ } \right) \cdot 200\,{\rm{kg}} \cdot 9{,}8\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^2}}} = 3{,}4\,{\rm{kN}}\]Für das obere Dreieck erhalten wir\[\sin \left( \alpha \right) = \frac{{{F_{{\rm{ZP}}}}}}{{{F_{\rm{N}}}}} \Leftrightarrow {F_{\rm{N}}} = \frac{{{F_{{\rm{ZP}}}}}}{{{\rm{sin}}\left( \alpha \right)}}\]Einsetzen der gegebenen und errechneten Werte liefert\[{F_{\rm{N}}} = \frac{{3{,}4\,{\rm{kN}}}}{{\sin \left( {60^\circ } \right)}} = 3{,}9\,{\rm{kN}}\]
c)
Joachim Herz Stiftung
Abb. 4 Detailskizze
Zuerst berechnen wir den Radius \(r\) der Kreisbahn, auf dem der Steilwandfahrer fährt. Betrachten wir die Detailskizze in Abb. 4, so erhalten wir aus der Trigonometrie\[\sin \left( \alpha \right) = \frac{r}{R} \Leftrightarrow r = R \cdot \sin \left( \alpha \right)\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[r = 10\,{\rm{m}} \cdot {\rm{sin}}\left( {60^\circ } \right) = 8{,}7\,{\rm{m}}\]Die Bahngeschwindigkeit \(v\) berechnen wir mit der bekannten Formel für den Betrag der Zentripetalkraft. Wir erhalten\[{{F_{{\rm{ZP}}}} = m \cdot \frac{{{v^2}}}{r} \Rightarrow v = \sqrt {\frac{{{F_{{\rm{ZP}}}} \cdot r}}{m}} }\]Einsetzen der gegebenen und errechneten Werte liefert\[{v = \sqrt {\frac{{3{,}4\,{\rm{kN}} \cdot 8{,}7\,{\rm{m}}}}{{200\,{\rm{kg}}}}} = 12\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}\]Die Umrechnung von \(\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\) zu \(\frac{\rm{km}}{\rm{h}}\) ergibt\[v=12\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}= 12 \cdot 3{,}6\,\frac{\rm{km}}{\rm{h}}= 44\,\frac{\rm{km}}{\rm{h}}\]
