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Aufgabe

Olympialooping

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Der "Olympia-Looping" bietet eine Achterbahn mit der aufregenden Besonderheit: die Wagen rasen mit \(100\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\) in die Tiefe und machen anschließend zweimal eine Looping-Schleife, d.h. die Mitfahrenden haben das intensive Vergnügen, mehrmals auf dem Kopf zu stehen.

Hersteller: Maurer & Söhne
Grundfläche: 85,2 x 38,5m
Höhe: 38,5m
Max.Geschwindigk.: 100 km/h
Länge der Gleise: 1250m
Gesamtgewicht: 875 t
Züge / Pers. pro Zug: 5 / 28
Gesamtfahrzeit: 1:08 min

a)Berechne aus der vom Schausteller angegebenen maximalen Höhe die maximal ohne eigenen Antrieb erreichbare Geschwindigkeit.

Zeige damit, dass die angegebene maximalen Geschwindigkeit etwas übertrieben ist.

b)Berechne den Betrag der Anpresskraft auf eine \(70\rm{kg}\) schwere Person im untersten Punkt eines Loopings mit dem Durchmesser \(34\rm{m}\) und der Geschwindigkeit \(80\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\).

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a)Aufgrund der Energieerhaltung gilt im Idealfall ohne Reibung \[m\cdot g\cdot h=\frac{1}{2}\cdot m\cdot v^2\Leftrightarrow v=\sqrt{2\cdot g\cdot h}\]Einsetzen der maximalen Höhe des Fahrgeschäftes führt zu\[v=\sqrt{2\cdot 9{,}81\,\rm{\frac{m}{s^2}}\cdot 38{,}5\rm{m}}=27{,}5\,\rm{\frac{m}{s}}=99\,\rm{\frac{km}{h}}\]Da in der Praxis Reibungskräfte zu Energieverlusten führen, ist die maximale Geschwindigkeit sicher geringer als \(100\,\rm{\frac{km}{h}}\).

b)Der Betrag der Anpresskraft entspricht der Summe der für die Kreisbahn notwendigen Zentripetalkraft und der Gewichtskraft. Bei einem Radius von \(r=17\,\rm{m}\), einer Geschwindigkeit von \(v=22{,}2\,\rm{\frac{m}{s}}\) und der Masse \(m=70\,\rm{kg}\) folgt\[F_{\rm{Anpress}}=m\cdot \frac{v^2}{r}+m\cdot g\Rightarrow F_{\rm{Anpress}}=70\,\rm{kg}\cdot \frac{(22{,}2\,\rm{\frac{m}{s}})^2}{17\,\rm{m}}+70\,\rm{kg}\cdot 9{,}81\,\rm{\frac{m}{s^2}}=2716\,\rm{N}\]

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Mechanik

Kreisbewegung