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Aufgabe

Looping mit dem Jaguar

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

 

Im Kölner Stadt-Anzeiger vom 5./6. August 2017 fanden wir im Artikel "Mangelnde Bodenhaftung" über die Geschichte der Autoindustrie die nebenstehenden Informationen. Natürlich mussten wir uns auch das Video ansehen ...

... und haben uns direkt eine passende Aufgabe ausgedacht.

a)Überprüfe rechnerisch, ob die Aussage zutriffte, dass der Körper von Terry Grant "während des Kreisels mit dem mehr als sechsfachen seines Körpergewichts in den Sitz gepresst wurde".

b)Überprüfe rechnerisch, dass Terry Grant den F-Pace "auf exakt \(87\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\) beschleunigen [musste], um am Scheitelpunkt nicht herunter zu fallen".

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a)Wir entnehmen dem Zeitungsartikel, dass die Höhe des Loopings fast \(h=20\rm{m}\) betrug und setzen deshalb als Kreisradius \(r=10\rm{m}\) fest. Die Geschwindigkeit des F-Pace beim Einfahren in den Looping betrug laut Zeitungsartikel \({v_0} = 87\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}} = \frac{{87}}{{3,6}}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} = 24\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\). Damit ergibt sich für die (maximale) Zentrifugalbeschleunigung auf den Fahrer beim Einfahren in den Looping\[{a_{{\rm{ZF}}{\rm{,max}}}} = \frac{{v_0^2}}{r} \Rightarrow {a_{{\rm{ZF}}{\rm{,max}}}} = \frac{{{{\left( {24\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)}^2}}}{{10{\rm{m}}}} = 58\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \approx 6 \cdot g\]Diese Ausage stimmt also.

b)Der F-Pace habe am höchsten Punkt des Loopings die Bahngeschwindigkeit \(v\). Damit der F-Pace dort nicht herabstürzt, muss seine Gewichtskraft dort oben betraglich kleiner (oder gleich) der dort notwendigen Zentripetalkraft sein. Wir erhalten somit die Bedingung\[{F_{\rm{G}}} \le {F_{{\rm{ZP}}}} \Leftrightarrow m \cdot g \le m \cdot \frac{{{v^2}}}{r} \Leftrightarrow g \le \frac{{{v^2}}}{r} \Rightarrow v \ge \sqrt {g \cdot r} \]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[v \ge \sqrt {9,8\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot 10{\rm{m}}} = 9,9\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]Zur Berechnung der notwendigen Anfangsgeschwindigkeit \({v_0}\) beim Einfahren in den Looping nutzen wir eine Energietabelle. Position 1 sei die Einfahrt in den Looping unten, Position 2 die höchste Stelle des Loopings oben.

  Position 1 Position 2
\({E_{{\rm{pot}}}}\) \(0\) \(m \cdot g \cdot h\)
\({E_{{\rm{kin}}}}\) \(\frac{1}{2} \cdot m \cdot v_0^2\) \(\frac{1}{2} \cdot m \cdot {v^2}\)
\({E_{{\rm{ges}}}}\) \(\frac{1}{2} \cdot m \cdot v_0^2\) \(m \cdot g \cdot h+\frac{1}{2} \cdot m \cdot {v^2}\)

Der Energieerhaltungssatz liefert nun \({E_{{\rm{ges}}{\rm{,1}}}} = {E_{{\rm{ges}}{\rm{,2}}}}\) und damit\[\frac{1}{2} \cdot m \cdot v_0^2 = m \cdot g \cdot h + \frac{1}{2} \cdot m \cdot {v^2} \Leftrightarrow v_0^2 = 2 \cdot g \cdot h + {v^2} \Rightarrow {v_0} = \sqrt {2 \cdot g \cdot h + {v^2}} \]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{v_0} = \sqrt {2 \cdot 9,8\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot 20{\rm{m}} + {{\left( {9,9\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)}^2}} = 22\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]Unter Berücksichtigung von Reibungsverlusten bei der Fahrt nach oben und einer Sicherheitsreserve bestätigt unsere Rechnung die gemachten Angaben.