a)Wir entnehmen dem Zeitungsartikel, dass die Höhe des Loopings fast \(h=20\rm{m}\) betrug und setzen deshalb als Kreisradius \(r=10\rm{m}\) fest. Die Geschwindigkeit des F-Pace beim Einfahren in den Looping betrug laut Zeitungsartikel \({v_0} = 87\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}} = \frac{{87}}{{3,6}}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} = 24\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\). Damit ergibt sich für die (maximale) Zentrifugalbeschleunigung auf den Fahrer beim Einfahren in den Looping\[{a_{{\rm{ZF}}{\rm{,max}}}} = \frac{{v_0^2}}{r} \Rightarrow {a_{{\rm{ZF}}{\rm{,max}}}} = \frac{{{{\left( {24\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)}^2}}}{{10{\rm{m}}}} = 58\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \approx 6 \cdot g\]Diese Ausage stimmt also.
b)Der F-Pace habe am höchsten Punkt des Loopings die Bahngeschwindigkeit \(v\). Damit der F-Pace dort nicht herabstürzt, muss seine Gewichtskraft dort oben betraglich kleiner (oder gleich) der dort notwendigen Zentripetalkraft sein. Wir erhalten somit die Bedingung\[{F_{\rm{G}}} \le {F_{{\rm{ZP}}}} \Leftrightarrow m \cdot g \le m \cdot \frac{{{v^2}}}{r} \Leftrightarrow g \le \frac{{{v^2}}}{r} \Rightarrow v \ge \sqrt {g \cdot r} \]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[v \ge \sqrt {9,8\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot 10{\rm{m}}} = 9,9\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]Zur Berechnung der notwendigen Anfangsgeschwindigkeit \({v_0}\) beim Einfahren in den Looping nutzen wir eine Energietabelle. Position 1 sei die Einfahrt in den Looping unten, Position 2 die höchste Stelle des Loopings oben.
| |
Position 1 |
Position 2 |
| \({E_{{\rm{pot}}}}\) |
\(0\) |
\(m \cdot g \cdot h\) |
| \({E_{{\rm{kin}}}}\) |
\(\frac{1}{2} \cdot m \cdot v_0^2\) |
\(\frac{1}{2} \cdot m \cdot {v^2}\) |
| \({E_{{\rm{ges}}}}\) |
\(\frac{1}{2} \cdot m \cdot v_0^2\) |
\(m \cdot g \cdot h+\frac{1}{2} \cdot m \cdot {v^2}\) |
Der Energieerhaltungssatz liefert nun \({E_{{\rm{ges}}{\rm{,1}}}} = {E_{{\rm{ges}}{\rm{,2}}}}\) und damit\[\frac{1}{2} \cdot m \cdot v_0^2 = m \cdot g \cdot h + \frac{1}{2} \cdot m \cdot {v^2} \Leftrightarrow v_0^2 = 2 \cdot g \cdot h + {v^2} \Rightarrow {v_0} = \sqrt {2 \cdot g \cdot h + {v^2}} \]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{v_0} = \sqrt {2 \cdot 9,8\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot 20{\rm{m}} + {{\left( {9,9\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)}^2}} = 22\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]Unter Berücksichtigung von Reibungsverlusten bei der Fahrt nach oben und einer Sicherheitsreserve bestätigt unsere Rechnung die gemachten Angaben.
