Kurven von Bahnstrecken sind in der Regel überhöht (die bogenäußere Schiene liegt höher als die innere), um die auf den Fahrgast wirkende seitliche Beschleunigungskomponente zu verringern.
a)
Berechne den Betrag der Geschwindigkeit, mit der ein Reisezug mit der Spurweite \(1435\,\rm{mm}\) eine Kurve mit einem Radius von \(700\,\rm{m}\) und einer Überhöhung von \(150\,\rm{mm}\) befahren sollte, damit die auf den Fahrgast wirkende Seitenbeschleunigung gerade verschwindet.
Auf einigen besonders kurvenreichen Strecken setzt die DB Züge mit Neigetechnik ein. Diese Fahrzeuge können ihren Wagenkasten um bis zu \(8^\circ \) gegenüber dem Fahrgestell neigen.
b)
Berechne den Betrag der Geschwindigkeit, mit der ein solcher Neigezug eine wie in Teilaufgabe a) gebaute Kurve durchfahren darf, wenn die vom Fahrzeug auf das Gleis übertragene Seitenbeschleunigung nicht höher als \(2{,}0\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\) sein darf.
Berechne weiter, wie stark sich dabei der Wagenkasten gegenüber der Waagrechten neigt.
Zunächst berechnet man den Winkel der Neigung. Wie in der Skizze zu sehen ist gilt \[\sin \left( \alpha \right) = \frac{{0{,}15\,{\rm{m}}}}{{1{,}435\,{\rm{m}}}} \Rightarrow \alpha = \arcsin \left( {\frac{{0,15{\rm{m}}}}{{1{,}435\,{\rm{m}}}}} \right) = 6^\circ \]Der selbe Winkel findet sich auch in der Betrachtung der Beschleunigungen im Bezugsssystem des Zuges wieder. Auf den Zug wirkt die Erdbeschleunigung \(g=9{,}81\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\) und die seitliche Zentrifugalbeschleunigung \(\frac{v^2}{r}\). Die Addition dieser beiden Beschleunigungen ergibt die resultierende Beschleunigung, die sich um einen Winkel von \(\alpha = 6^\circ\) von der Richtung der Erdbeschleunigung unterscheidet. Dies bedeutet einen Winkel von \(84^\circ\) zwischen der Seitenbeschleunigung und der resultierenden Beschleunigung \(a_{\rm{res}}\), da die resultierende Beschleunigung senkrecht auf der Ebene stehen muss, um die Seitenbeschleunigung aus Sicht des Fahrgastes verschwinden zu lassen. Aus diesen Zusammenhängen erhält man mit Hilfe der Skizze die Gleichungen \[\cos \left( {6^\circ } \right) = \frac{g}{{{a_{{\rm{res}}}}}} \Leftrightarrow {a_{{\rm{res}}}} = \frac{g}{{\cos \left( {6^\circ } \right)}}\quad(1)\] sowie \[\cos \left( {84^\circ } \right) = \frac{{{v^2}}}{{r \cdot {a_{{\rm{res}}}}}} \Leftrightarrow {a_{{\rm{res}}}} = \frac{{{v^2}}}{{r \cdot \cos \left( {84^\circ } \right)}}\quad(2)\] Gleichsetzen von \((1)\) und \((2)\) liefert \[\frac{g}{{\cos \left( {6^\circ } \right)}} = \frac{{{v^2}}}{{r \cdot \cos \left( {84^\circ } \right)}} \Rightarrow v = \sqrt {\frac{{g \cdot r \cdot \cos \left( {84^\circ } \right)}}{{\cos \left( {6^\circ } \right)}}} \Rightarrow v = \sqrt {\frac{{9,81\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot 700{\rm{m}} \cdot \cos \left( {84^\circ } \right)}}{{\cos \left( {6^\circ } \right)}}} = 26{,}9\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} = 97\,\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\]
b)
Joachim Herz Stiftung
Abb. 3 Skizze zu Teil b)
Die Skizze ist hier recht ähnlich, allerdings steht die resultierende Beschleunigung nicht mehr senkrecht auf der Ebene, da sich der Zug relativ zu dieser auch etwas neigt. Die resultierende Beschleunigung soll senkrecht auf dem Zugboden stehen, wobei die Neigung des Zuges variabel ist. Die Winkelsumme aus der Neigung der Ebene und der des Zuges sei \(\alpha\) gekennzeichnet.
Beschränkt wird die Geschwindigkeit nun von der maximalen Seitenbeschleunigung auf das Gleis, die also im selben Winkel wie die Ebene auf das Gleis wirkt. Dies belegt die Geschwindigkeit mit folgender Bedingung \[\cos \left( {6^\circ } \right) = \frac{{{v^2}}}{r}:2\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^2}}} \Rightarrow v = \sqrt {\cos \left( {6^\circ } \right) \cdot r \cdot 2\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^2}}}} \Rightarrow v = \sqrt {\cos \left( {6^\circ } \right) \cdot 700{\rm{m}} \cdot 2\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^2}}}} = 37,3\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} = 134\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\]Mit ähnlichen Gleichungen wie in Teilaufgabe a) können wir jetzt auf \(\alpha\) schließen: \[\cos \left( \alpha \right) = \frac{g}{{{a_{{\rm{res}}}}}} \Leftrightarrow {a_{{\rm{res}}}} = \frac{g}{{\cos \left( \alpha \right)}}(1)\] \[{a_{{\rm{res}}}} = \frac{{{v^2}}}{{r \cdot \cos \left( {90^\circ - \alpha } \right)}}(2)\] Gleichsetzen von \((1)\) und \((2)\) liefert \[\frac{g}{{\cos \left( \alpha \right)}} = \frac{{{v^2}}}{{r \cdot \cos \left( {90^\circ - \alpha } \right)}} \Leftrightarrow \frac{{\cos \left( {90^\circ - \alpha } \right)}}{{\cos \left( \alpha \right)}} = \frac{{{v^2}}}{{r \cdot g}}\] Mit den Identitäten \(\cos \left( {90^\circ - \alpha } \right) = \sin \left( \alpha \right)\) und \(\frac{{\sin \left( \alpha \right)}}{{\cos \left( \alpha \right)}} = \tan \left( \alpha \right)\) ergibt sich \[\tan \left( \alpha \right) = \frac{{{v^2}}}{{r \cdot g}} \Rightarrow \alpha = \arctan \left( {\frac{{{v^2}}}{{r \cdot g}}} \right) \Rightarrow \alpha = \arctan \left( {\frac{{{{\left( {37,3\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)}^2}}}{{700{\rm{m}} \cdot 9,81\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}}}} \right) = 11,5^\circ \] Der Wagenkasten neigt sich dabei also um \(11,5^\circ - 6^\circ = 5,5^\circ \).
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