Eine Kugel mit der der Masse \(m = 100\,\rm{g}\) liegt auf einer rotierenden Scheibe und wird durch einen Faden gehalten.
a)
Berechne, wie groß der Betrag der Fadenkraft sein muss, wenn die Scheibe \(30\) Umdrehungen in der Minute macht und der Radius \(r = 15\,\rm{cm}\) ist.
b)
Skizziere, wie die Bewegung der Kugel aussieht, wenn man die Scheibe unter der Kugel entfernt. Zeichne auch die dann wirkenden Kräfte ein. Erkläre, wie in diesem Fall die Zentripetalkraft zustandekommt.
Der Faden übt eine Kraft \(\vec F_{\rm{F}}\) auf den Körper aus. Diese Kraft \(\vec F_{\rm{F}}\) stellt die notwendige Zentripetalkraft \(\vec F_{\rm{ZP}}\) dar.
Berechnung der Winkelgeschwindigkeit: Ist \(N\) die Anzahl der beobachteten Umdrehungen und \({t_{\rm{N}}}\) die Zeit, die für diese \(N\) Umdrehungen benötigt wird, so ist \(T = \frac{{{t_{\rm{N}}}}}{N}\) die Zeit für eine Umdrehung und somit \[f = \frac{1}{T} = \frac{N}{{{t_{\rm{N}}}}}\] die zugehörige Frequenz \[f = \frac{{30}}{{60\,\rm{s}}} = 0,5\frac{1}{\rm{s}} = 0{,}5\,\rm{Hz}\] und entsprechend die Kreisfrequenz \[\omega = 2\pi \cdot f \Rightarrow \omega = 2\pi \cdot 0{,}5\,\frac{1}{\rm{s}} = 3{,}14\,\frac{1}{\rm{s}}\]Berechnung des Betrags der Zentripetalkraft und somit des Betrags der Fadenkraft:\[{F_{\rm{ZP}}} = m \cdot r \cdot {\omega ^2} \Rightarrow {F_{\rm{ZP}}} = 0{,}100\,\rm{kg} \cdot 0{,}15\,\rm{m} \cdot ({3{,}14\,\frac{1}{\rm{s}}})^2 = 0{,}15\,\rm{N}\]
b)
Joachim Herz Stiftung
Abb. 2. Skizze und Kräfteparallelogramm für die Bewegung der Kugel ohne Platte.
Die fest eingebaute Platte fängt die Gewichtskraft \(\vec{F}_\rm{G}\) der Kugel ab, sodass Kugel und Faden sich automatisch senkrecht zur Drehachse bewegen. So lange die Platte eingebaut ist, wirkt daher ausschließlich die Zugkraft \(\vec{F}_\rm{F}\) des Fadens als Zentripetalkraft.
Wird die Platte entfernt, ändert sich das Kräftegleichgewicht wie in Abbildung 2 dargestellt. Zusätzlich zur Zugkraft des Fadens muss nun die Gewichtskraft berücksichtigt werden. Daher "fällt" die Kugel zunächst ein Stück nach unten. Die Gewichtskraft und die Zugkraft des Fadens zusammengenommen ergeben dann eine zur Drehachse gerichtete Kraft \(\vec{F}_\rm{Z}\). Der Winkel \(\alpha\) zwischen \(\vec{F}_\rm{F}\) und \(\vec{F}_\rm{G}\) stellt sich dabeiso ein, dass sich eine stabile Kreisbahn ergibt. Dann gilt:
\[\tan{\alpha} = \frac{\vec{F}_\rm{z}}{\vec{F}_\rm{G}} \Leftrightarrow \vec{F}_\rm{Z}=\vec{F}_\rm{G}\cdot \tan{\alpha}\].
