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Aufgabe

Kegelpendel

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

Bei einem Kegelpendel läuft der Pendelkörper auf einer horizontalen Kreisbahn um.

a)Verdeutlichen Sie an einem übersichtlichen Kräftediagramm, wie ein Außenbeobachter das Zustandekommen der resultierenden Kraft erklärt.

b)Leiten Sie eine Formel für die Umlaufdauer \(T\) des Pendels unter ausschließlicher Verwendung der in der Skizze angegebenen Größen sowie der Erdbeschleunigung \(g\) her.

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a)Die beiden "äußeren" Kräfte (Schnurkraft \({\vec F_{\rm{S}}}\) und Gewichtskraft \({\vec F_{\rm{G}}}\)) führen zur resultierenden Zentripetalkraft \({\vec F_{{\rm{ZP}}}}\) (in der Zeichnung \({\vec F_{\rm{r}}}\)).

b)Zuerst entnimmt man mit Hilfe der Trigonometrie aus der Zeichnung mit dem nicht eingezeichneten Radius \(r\) der Kreisbahn\[\sin \left( \beta  \right) = \frac{r}{l} \Leftrightarrow r = l \cdot \sin \left( \beta  \right) \quad(1)\]sowie\[\tan \left( \beta  \right) = \frac{{{F_{{\rm{ZP}}}}}}{{{F_{\rm{G}}}}} = \frac{{{F_{{\rm{ZP}}}}}}{{m \cdot g}} \Leftrightarrow {F_{{\rm{ZP}}}} = m \cdot g \cdot \tan \left( \beta  \right) \quad(2)\]Nach dem 2. NEWTONschen Axiom besteht zwischen Zentripetalkraft \({{F_{{\rm{ZP}}}}}\), Zentripetalbeschleunigung \({a_{{\rm{ZP}}}}\) und Masse \(m\) der Zusammenhang\[{F_{{\rm{ZP}}}} = m \cdot {a_{{\rm{ZP}}}} \Leftrightarrow {a_{{\rm{ZP}}}} = \frac{{{F_{{\rm{ZP}}}}}}{m}\]woraus man mit \((2)\) erhält\[{a_{{\rm{ZP}}}} = \frac{{{F_{{\rm{ZP}}}}}}{m} = \frac{{m \cdot g \cdot \tan \left( \beta  \right)}}{m} = g \cdot \tan \left( \beta  \right) \quad(3)\]Aus den bekannten Formeln für die Kreisbewegung erhält man\[{a_{{\rm{ZP}}}} = r \cdot {\omega ^2} = r \cdot {\left( {\frac{{2 \cdot \pi }}{T}} \right)^2} \Rightarrow T = 2 \cdot \pi  \cdot \sqrt {\frac{r}{{{a_{{\rm{ZP}}}}}}} \]Daraus ergibt sich mit \((1)\) und \((3)\)\[T = 2 \cdot \pi  \cdot \sqrt {\frac{{l \cdot \sin \left( \beta  \right)}}{{g \cdot \tan \left( \beta  \right)}}} \]Nutzt man nun, dass \(\tan \left( \beta  \right) = \frac{{\sin \left( \beta  \right)}}{{\cos \left( \beta  \right)}}\), so ergibt sich schließlich\[T = 2 \cdot \pi  \cdot \sqrt {\frac{{l \cdot \sin \left( \beta  \right)}}{{g \cdot \frac{{\sin \left( \beta  \right)}}{{\cos \left( \beta  \right)}}}}}  = 2 \cdot \pi  \cdot \sqrt {\frac{{l \cdot \cos \left( \beta  \right)}}{g}} \]

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Mechanik

Kreisbewegung