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Aufgabe

Frisbee

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

"Frisbee" ist eine Art monströse Schiffschaukel; auf einem riesigen Drehteller sitzen die Mutigen, angeschnallt, zwischen Körper- und Kopfstützen eingezwängt, als würden sie in den Weltraum geschossen. Das Super-Gerät wirbelt und dreht alle Mitfahrenden in großen Schwüngen durch die Luft.

Technische Daten
Front: 25,50 m
Tiefe: 18,60 m
Weite der ausgeschwungenen Gondel: 27,40 m
Höhe der ausgeschwungenen Gondel: ca. 19,50 m
Durchmesser der Gondel: ca. 8,50 m
Fassungsvermögen der Gondel: 40 Personen

a)Schätze unter Nutzung der Daten ab, welche Kraft auf eine \(60\,\rm{kg}\) schwere Person am tiefsten Punkt wirkt, sofern die Auslenkung maximal ist und sich die Scheibe noch nicht dreht. Nimm dabei an, dass die Beschleunigung dieser Stange im Wesentlichen durch die Gravitationskraft der Erde bewirkt wird.

 

Der Drehteller dreht so schnell mit, dass man am höchsten Punkt, bei waagerecht angenommener Pendelachse eine kurze Zeit kräftefrei ist.

b)Berechne die Drehfrequenz, die der Drehteller dann haben muss.

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a)Auf den Passagier wirkt im tiefsten Punkt sowohl seine Gewichtskraft \(F_{\rm{G}}\) als auch die Zentripetalkraft \(F_{\rm{ZP}}\). Es gilt \[F_{\rm{gesamt}}=F_{\rm{G}}+F_{\rm{ZP}}=m\cdot g+m\cdot \frac{v^2}{r}=m\cdot\left(g+ \frac{v^2}{r}\right)\]Die Geschwindigkeit \(v\) ergibt sich dabei aus der Energieerhaltung und der Starthöhe \(h=19\,\rm{m}\) der Gondel:\[m\cdot g\cdot h=\frac{1}{2}\cdot m\cdot v^2\Leftrightarrow v=\sqrt{2\cdot g\cdot h}\]Einsetzen in die oberer Gleichung führt zu\[F_{\rm{gesamt}}=m\cdot\left(g+ \frac{2\cdot g\cdot h}{r}\right)\Rightarrow F_{\rm{gesamt}}=60\,\rm{kg}\cdot\left(9{,}81\,\rm{\frac{m}{s^2}}+ \frac{2\cdot 9{,}81\,\rm{\frac{m}{s^2}}\cdot 19{,}5\,\rm{m}}{27{,}4\,\rm{m}}\right)=1426\,\rm{N}\]

b)Die Zentripetalkraft für die Drehung des Drehtellers muss hier gerade so groß sein, wie die Gewichtskraft \(F_{\rm{G}}\). Es gilt also\[F_{\rm{G}}=F_{\rm{ZP}}\Leftrightarrow m\cdot g=m\cdot r\cdot \omega^2\]Mit \(\omega=2\cdot\pi\cdot f\) und \(r=8{,}5\,\rm{m}\) folgt für die notwendige Drehfrequenz\[f=\sqrt{\frac{g}{4\cdot \pi^2\cdot r}}\Rightarrow f=\sqrt{\frac{9{,}81\,\rm{\frac{m}{s^2}}}{4\cdot \pi^2\cdot 8{,}5\,\rm{m}}}=0{,}17\,\rm{Hz}\]

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Mechanik

Kreisbewegung