Die Eisschnellläuferin Gunda Niemann (\(m = 60\,{\rm{kg}}\)) lief am 25.02.1998 über \(500\,{\rm{m}}\) einen persönlichen Rekord auf einer Bahn, die aus zwei Halbkreisen mit der Bogenlänge \(100\,{\rm{m}}\) und zwei geraden Strecken von ebenfalls \(100\,{\rm{m}}\) Länge besteht. Die Start-Ziel-Gerade wird 2 mal durchlaufen. Für die ersten \(100\,{\rm{m}}\) wurde eine Startzeit von \(10{,}23\,{\rm{s}}\) gemessen. Danach war der Geschwindigkeitsbetrag nahezu konstant. Die Gesamtlaufzeit betrug \(38{,}13\,{\rm{s}}\).
a)
Berechne den Betrag der seitlichen Kraft, die in der Kurve auf den Schlittschuh wirkt. Anschubeffekte sollen dabei unberücksichtigt bleiben.
b)
Berechne die Weite \(\alpha \) des Winkels, unter dem sich Gunda Niemann in der Kurve gegen die Horizontale neigen musste.
Berechne den Betrag der Kraft auf das Bein, das sich auf dem Eis befindet.
Die Zeitspanne \(\Delta t\), die für die \(400{\rm{m}}\) nach der Startphase zur Verfügung steht, berechnet sich durch
\[\Delta t = 38,13{\rm{s}} - 10,23{\rm{s}} = 27,90{\rm{s}}\]
Dies ergibt eine Geschwindigkeit für die restlichen \(400{\rm{m}}\) von
\[v = \frac{{\Delta x}}{{\Delta t}} \Rightarrow v = \frac{{400{\rm{m}}}}{{27,90{\rm{s}}}} = 14,3\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]
Damit ergibt sich nun für die Zeitspanne \(\frac{T}{2}\) für das Durchlaufen eines halben Kreisbogens der Länge \(100{\rm{m}}\)
\[v = \frac{{\Delta x}}{{\frac{T}{2}}} \Leftrightarrow \frac{T}{2} = \frac{{\Delta x}}{v} \Rightarrow \frac{T}{2} = \frac{{100{\rm{m}}}}{{14{,}3\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}} = 6{,}99\,{\rm{s}}\]
und damit die Umlaufdauer für einen gesamten Kreis \(T=13,98\rm{s}\). Die Winkelgeschwindigkeit \(\omega \) auf der Kreisbahn berechnet sich nun zu
\[\omega = \frac{{2 \cdot \pi }}{T} \Rightarrow \omega = \frac{{2 \cdot \pi }}{{13,98{\rm{s}}}} = 0,449\frac{1}{{\rm{s}}}\]
Der Radius \(r\) des Halbkreises ergibt sich aus
\[100{\rm{m}} = \frac{u}{2} = \frac{{2 \cdot \pi \cdot r}}{2} = \pi \cdot r \Rightarrow r = \frac{{100{\rm{m}}}}{\pi } = 31{,}8\,{\rm{m}}\]
Joachim Herz Stiftung
Abb. 2 Radius des Halbkreises
Der Betrag der seitlichen Kraft auf den Schlittschuh ist gleich dem Betrag der Zentripetalkraft \(F_{\rm{ZP}}\) (in der Zeichnung \(F_{\rm{r}}\)), die sich berechnet durch
\[{F_{{\rm{ZP}}}} = \frac{{m \cdot {v^2}}}{r}\]
Einsetzen der gegebenen Werte liefert
\[{F_{{\rm{ZP}}}} = \frac{{60{\rm{kg}} \cdot {{\left( {14,3\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)}^2}}}{{31,8{\rm{m}}}} = 386\,{\rm{N}}\]
Joachim Herz Stiftung
Abb. 3 Kräfte
Hinweis: Die Zentripetalkraft wird durch die beiden "äußeren" Kräfte \({F_{\rm{G}}}\) (Gewichtskraft, in der Zeichnung \({F_{\rm{g}}}\)) und \({F_{\rm{B}}}^*\) (in der Zeichnung \({F^*}_{\rm{b}}\)) gebildet. Dabei ist \({F_{\rm{B}}}^*\) diejenige Kraft, welche der Boden auf die Schlittschuhläuferin ausübt.
b)
Die Weite des Neigungswinkels \(\alpha \) berechnet sich durch
\[\tan \left( \alpha \right) = \frac{{{F_{\rm{G}}}}}{{{F_{{\rm{ZP}}}}}} = \frac{{m \cdot g}}{{\frac{{m \cdot {v^2}}}{r}}} = \frac{{g \cdot r}}{{{v^2}}} \Rightarrow \tan \left( \alpha \right) = \frac{{9,81\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot 31,8{\rm{m}}}}{{{{\left( {14{,}3\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)}^2}}} = 1{,}53 \Rightarrow \alpha = 56{,}8^\circ \]
Die Kraft auf das Bein berechnet sich durch
\[\cos \left( \alpha \right) = \frac{{{F_{{\rm{ZP}}}}}}{{{F_{\rm{B}}}^*}} \Leftrightarrow {F_{\rm{B}}}^* = \frac{{{F_{{\rm{ZP}}}}}}{{\cos \left( \alpha \right)}} \Rightarrow {F_{\rm{B}}}^* = \frac{{386{\rm{N}}}}{{\cos \left( {56,8^\circ } \right)}} = 705\,{\rm{N}}\]
