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Aufgabe

Eisschnellläuferin

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Die Eisschnellläuferin Gunda Niemann (\(m = 60\,{\rm{kg}}\)) lief am 25.02.1998 über \(500\,{\rm{m}}\) einen persönlichen Rekord auf einer Bahn, die aus zwei Halbkreisen mit der Bogenlänge \(100\,{\rm{m}}\) und zwei geraden Strecken von ebenfalls \(100\,{\rm{m}}\) Länge besteht. Die Start-Ziel-Gerade wird 2 mal durchlaufen. Für die ersten \(100\,{\rm{m}}\) wurde eine Startzeit von \(10{,}23\,{\rm{s}}\) gemessen. Die Gesamtlaufzeit betrug \(38{,}13\,{\rm{s}}\). Danach ist der Geschwindigkeitsbetrag nahezu konstant.

a)Berechnen Sie die seitliche Kraft, die in der Kurve auf den Schlittschuh wirkt. Anschubeffekte sollen dabei unberücksichtigt bleiben.

b)Berechnen Sie die Weite des Winkels \(\alpha \), unter dem sich Gunda Niemann in der Kurve gegen die Horizontale neigen muss. Berechnen Sie weiter, welche Kraft auf das auf dem Eis befindliche Bein wirkt.

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a)Die Zeitspanne \(\Delta t\), die für die \(400{\rm{m}}\) nach der Startphase zur Verfügung steht, berechnet sich durch
\[\Delta t = 38,13{\rm{s}} - 10,23{\rm{s}} = 27,90{\rm{s}}\]
Dies ergibt eine Geschwindigkeit für die restlichen \(400{\rm{m}}\) von
\[v = \frac{{\Delta x}}{{\Delta t}} \Rightarrow v = \frac{{400{\rm{m}}}}{{27,90{\rm{s}}}} = 14,3\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]
Damit ergibt sich nun für die Zeitspanne \(\frac{T}{2}\) für das Durchlaufen eines halben Kreisbogens der Länge \(100{\rm{m}}\)
\[v = \frac{{\Delta x}}{{\frac{T}{2}}} \Leftrightarrow \frac{T}{2} = \frac{{\Delta x}}{v} \Rightarrow \frac{T}{2} = \frac{{100{\rm{m}}}}{{14{,}3\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}} = 6{,}99\,{\rm{s}}\]
und damit die Umlaufdauer für einen gesamten Kreis \(T=13,98\rm{s}\). Die Winkelgeschwindigkeit \(\omega \) auf der Kreisbahn berechnet sich nun zu
\[\omega  = \frac{{2 \cdot \pi }}{T} \Rightarrow \omega  = \frac{{2 \cdot \pi }}{{13,98{\rm{s}}}} = 0,449\frac{1}{{\rm{s}}}\]
Der Radius \(r\) des Halbkreises ergibt sich aus
\[100{\rm{m}} = \frac{u}{2} = \frac{{2 \cdot \pi  \cdot r}}{2} = \pi  \cdot r \Rightarrow r = \frac{{100{\rm{m}}}}{\pi } = 31{,}8\,{\rm{m}}\]

 

 

Der Betrag der seitlichen Kraft auf den Schlittschuh ist gleich dem Betrag der Zentripetalkraft \(F_{\rm{ZP}}\) (in der Zeichnung \(F_{\rm{r}}\)), die sich berechnet durch
\[{F_{{\rm{ZP}}}} = \frac{{m \cdot {v^2}}}{r}\]
Einsetzen der gegebenen Werte liefert
\[{F_{{\rm{ZP}}}} = \frac{{60{\rm{kg}} \cdot {{\left( {14,3\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)}^2}}}{{31,8{\rm{m}}}} = 386\,{\rm{N}}\]

 

 

Hinweis: Die Zentripetalkraft wird durch die beiden "äußeren" Kräfte \({F_{\rm{G}}}\) (Gewichtskraft, in der Zeichnung \({F_{\rm{g}}}\)) und \({F_{\rm{B}}}^*\) (in der Zeichnung \({F^*}_{\rm{b}}\))  gebildet. Dabei ist \({F_{\rm{B}}}^*\) diejenige Kraft, welche der Boden auf die Schlittschuhläuferin ausübt.

 

b)Die Weite des Neigungswinkels \(\alpha \) berechnet sich durch
\[\tan \left( \alpha  \right) = \frac{{{F_{\rm{G}}}}}{{{F_{{\rm{ZP}}}}}} = \frac{{m \cdot g}}{{\frac{{m \cdot {v^2}}}{r}}} = \frac{{g \cdot r}}{{{v^2}}} \Rightarrow \tan \left( \alpha  \right) = \frac{{9,81\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot 31,8{\rm{m}}}}{{{{\left( {14{,}3\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)}^2}}} = 1{,}53 \Rightarrow \alpha  = 56{,}8^\circ \]
Die Kraft auf das Bein berechnet sich durch
\[\cos \left( \alpha  \right) = \frac{{{F_{{\rm{ZP}}}}}}{{{F_{\rm{B}}}^*}} \Leftrightarrow {F_{\rm{B}}}^* = \frac{{{F_{{\rm{ZP}}}}}}{{\cos \left( \alpha  \right)}} \Rightarrow {F_{\rm{B}}}^* = \frac{{386{\rm{N}}}}{{\cos \left( {56,8^\circ } \right)}} = 705\,{\rm{N}}\]