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Aufgabe

Bewegungsvielfalt

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

Abb. 1 Bewegung eines Körpers entlang einer Loopingbahn, in deren Verlauf er verschiedene Bewegungsformen durchläuft

Ein Körper mit der Masse \(m = 1{,}0\,\rm{kg}\) bewegt sich entlang einer Loopingbahn von A über B, C, S nach D und fliegt anschließend nach E.

a)Von A nach B wird der Körper aus der Ruhe heraus mit konstanter Kraft F = 10 N auf reibungsfreier Bahn beschleunigt.

Nach welcher Zeit ist der Körper bei B angelangt?

Bestimmen Sie die Geschwindigkeit vB an der Stelle B.

b)Im Punkt B hört die beschleunigende Kraft auf zu wirken. Auf der Strecke [BC] beträgt die Reibungszahl fr = 0,4.

Mit welcher Geschwindigkeit vC kommt der Körper in C an, wenn im Punkt B seine Geschwindigkeit vB = 10 m/s beträgt?

Berechnen Sie die Zeit, welche er für die Strecke [BC] benötigt.

c)Ab C durchläuft der Körper eine kreisförmige Schleifenbahn, in der keine Reibung berücksichtigt wird. Nach einem Umlauf verlässt er die Schleife wieder bei C. Auf der anschließenden Strecke [CD] tritt wieder Reibung auf (Reibungszahl fr = 0,4).

Wie groß darf der Schleifenradius r maximal werden, damit der Körper ihren höchsten Punkt S noch durchläuft? Die Geschwindigkeit in C beträgt vC = 4,2 m/s.

Mit welcher Geschwindigkeit vD muss der Körper den Punkt D passieren, um in E unter einem Winkel von 45° aufzutreffen?

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a)Für die Beschleunigung gilt nach Newton II \[F = m \cdot a \Leftrightarrow a = \frac{F}{m} \quad(1)\] Für die konstant beschleunigte Bewegung ohne Anfangsgeschwindigkeit gilt mit \((1)\) \[x = \frac{1}{2} \cdot a \cdot {t^2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{F}{m} \cdot {t^2} \Rightarrow t = \sqrt {\frac{{2 \cdot x \cdot m}}{F}}  \Rightarrow t = \sqrt {\frac{{2 \cdot 5,0{\rm{m}} \cdot 1,0{\rm{kg}}}}{{10{\rm{N}}}}}  = 1,0{\rm{s}}\]

Für die Geschwindigkeit im Punkt B gilt mit \((1)\) \[v_{\rm{B}} = a \cdot t = \frac{F}{m} \cdot \sqrt {\frac{{2 \cdot x \cdot m}}{F}}  = \sqrt {\frac{{2 \cdot x \cdot F}}{m}}  \Rightarrow v_{\rm{B}} = \sqrt {\frac{{2 \cdot 5,0{\rm{m}} \cdot 10{\rm{N}}}}{{1,0{\rm{kg}}}}}  = 10\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]

b)Für die Rollreibungskraft gilt \[{F_{{\rm{RR}}}} =  - {\mu _{{\rm{RR}}}} \cdot {F_{\rm{G}}} =  - {\mu _{{\rm{RR}}}} \cdot m \cdot g\] Somit gilt für die Beschleunigung zwischen B und C \[F = m \cdot a \Leftrightarrow a = \frac{F}{m} = \frac{{{F_{{\rm{RR}}}}}}{m} = \frac{{ - {\mu _{{\rm{RR}}}} \cdot m \cdot g}}{m} =  - {\mu _{{\rm{RR}}}} \cdot g\] Berechnung der Geschwindigkeit im Punkt C: \[{v_{\rm{C}}}^2 - {v_{\rm{B}}}^2 = 2 \cdot a \cdot x \Rightarrow {v_{\rm{C}}} = \sqrt {2 \cdot a \cdot x + {v_{\rm{B}}}^2}  = \sqrt {{v_{\rm{B}}}^2 - 2 \cdot {\mu _{{\rm{RR}}}} \cdot g \cdot x} \] Einsetzen der gegebenen Werte liefert \[{v_{\rm{C}}} = \sqrt {2 \cdot a \cdot x + {v_{\rm{B}}}^2}  = \sqrt {{{\left( {10\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)}^2} - 2 \cdot 0,40 \cdot 9,8\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot 10,5{\rm{m}}}  = 4,2\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]

Berechnung der Zeit für die Strecke [BC]: \[{v_{\rm{C}}} - {v_{\rm{B}}} = a \cdot t \Leftrightarrow t = \frac{{{v_{\rm{C}}} - {v_{\rm{B}}}}}{a} = \frac{{{v_{\rm{C}}} - {v_{\rm{B}}}}}{{ - {\mu _{{\rm{RR}}}} \cdot g}}\] Einsetzen der gegebenen Werte liefert \[t = \frac{{4,2\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} - 10\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{ - 0,40 \cdot 9,8\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}}} = 1,5{\rm{s}}\]

c)Überlegung im mitbeschleunigten System: Damit sich der Körper auf der Kreisbahn hält, muss die Zentrifugalkraft größer als die Gewichtskraft sein\[{F_{{\rm{ZP}}}} \ge {F_{\rm{G}}} \Leftrightarrow m \cdot \frac{{{v_{\rm{S}}}^2}}{r} \ge m \cdot g \Leftrightarrow r \le \frac{{{v_{\rm{S}}}^2}}{g}\]Berechnung von \({{v_{\rm{S}}}}\) über den Energiesatz\[{E_{{\rm{kin,C}}}} = {E_{{\rm{kin,S}}}} + {E_{{\rm{pot,S}}}} \Leftrightarrow \frac{1}{2} \cdot m \cdot {v_{\rm{C}}}^2 = \frac{1}{2} \cdot m \cdot {v_{\rm{S}}}^2 + m \cdot g \cdot 2 \cdot r \Leftrightarrow {v_{\rm{S}}}^2 = {v_{\rm{C}}}^2 - 4 \cdot g \cdot r\]Setzt man dieses Ergebnis in die obige Bedingung für \(r\) ein, so folgt\[r \le \frac{{{v_{\rm{C}}}^2 - 4 \cdot g \cdot r}}{g} \Leftrightarrow r \cdot g \le {v_{\rm{C}}}^2 - 4 \cdot g \cdot r \Leftrightarrow 5 \cdot r \cdot g \le {v_{\rm{C}}}^2 \Leftrightarrow r \le \frac{{{v_{\rm{C}}}^2}}{{5 \cdot g}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[r \le \frac{{{{\left( {4,2\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)}^2}}}{{5 \cdot 9,8\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}}} = 0,36{\rm{m}}\]

Der Körper führt einen waagrechten Wurf mit der horizontal gerichteten Anfangsgeschwindigkeit \(v_{\rm{D}}\) aus. Wenn der Körper unter \(45^\circ \) auf den Boden trifft, muss die Horizontalkomponente der Geschwindigkeit \(v_{\rm{D}}\) (x-Komponente ) gleich der Vertikalkomponente (y-Komponente) sein. Die Vertikalkomponente kann aus der Fallhöhe mit den Formeln für den freien Fall bestimmt werden. Damit kennt man dann auch \(v_{\rm{D}}\)\[{v_y}^2 = 2 \cdot g \cdot h \Rightarrow {v_y} = \sqrt {2 \cdot g \cdot h}  \Rightarrow {v_y} = \sqrt {2 \cdot 9,8\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot 0,45{\rm{m}}}  = 3,0\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]