Direkt zum Inhalt

Aufgabe

Bewegungsvielfalt

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

Abb. 1 Bewegung eines Körpers entlang einer Loopingbahn, in deren Verlauf er verschiedene Bewegungsformen durchläuft

Ein Körper mit der Masse \(1{,}0\,\rm{kg}\) rollt entlang einer Loopingbahn von \(\rm{A}\) über \(\rm{B}\), \(\rm{C}\), \(\rm{S}\), \(\rm{C}\) nach \(\rm{D}\) und fliegt anschließend nach \(\rm{E}\).

a)

Von \(\rm{A}\) nach \(\rm{B}\) wird der Körper aus der Ruhe heraus mit konstanter Kraft vom Betrag \(10\,\rm{N}\) auf reibungsfreier Bahn beschleunigt.

Berechne die Zeit \(t\), nach der der Körper am Punkt \(\rm{B}\) angelangt ist.

Berechne die Geschwindigkeit \(v_{\rm{B}}\) des Körpers am Punkt \(\rm{B}\). [Kontrollergebnis: \(10\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\)]

b)

Im Punkt \(\rm{B}\) hört die beschleunigende Kraft auf zu wirken. Auf der Strecke \(\overline {\rm{BC}}\) beträgt der Rollreibungskoeffizient zwischen dem Körper und der Unterlage \(\mu _{\rm{RR}}=0{,}40\).

Berechne die Geschwindigkeit \(v_{\rm{C}}\), mit der der Körper  am Punkt \(\rm{C}\) ankommt. [Kontrollergebnis: \(4{,}2\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\)]

Berechne die Zeit, welche er für die Strecke \(\overline {\rm{BC}} \) benötigt.

c)

Ab dem Punkt \(\rm{C}\) durchläuft der Körper eine kreisförmige Schleifenbahn, in der keine Reibung berücksichtigt wird. Nach einem Umlauf verlässt er die Schleife wieder bei \(\rm{C}\).

Berechne, wie groß der Schleifenradius \(r\) maximal sein darf, damit der Körper den höchsten Punkt \(\rm{S}\) der Schleife noch durchläuft.

d)

Auf der anschließenden Strecke \(\overline {\rm{CD}} \) tritt wieder Reibung mit dem Rollreibungskoeffizient \(\mu _{\rm{RR}}=0{,}40\) auf.

Berechne die Geschwindigkeit \(v_{\rm{D}}\), mit dem der Körper den Punkt \(\rm{D}\) passieren muss, um im Punkt \(\rm{E}\) unter einem Winkel von \(45^\circ\) aufzutreffen.

Lösung einblendenLösung verstecken Lösung einblendenLösung verstecken
a)

Für die Beschleunigung gilt nach dem 2. Axiom von NEWTON\[F = m \cdot a \Leftrightarrow a = \frac{F}{m} \quad(1)\] Für die konstant beschleunigte Bewegung ohne Anfangsgeschwindigkeit gilt mit \((1)\)\[x = \frac{1}{2} \cdot a \cdot {t^2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{F}{m} \cdot {t^2} \Rightarrow t = \sqrt {\frac{{2 \cdot x \cdot m}}{F}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[t = \sqrt {\frac{{2 \cdot 5{,}0\,{\rm{m}} \cdot 1{,}0\,{\rm{kg}}}}{{10\,{\rm{N}}}}}  = 1{,}0\,{\rm{s}}\]Für die Geschwindigkeit im Punkt \(\rm{B}\) gilt mit \((1)\)\[v_{\rm{B}} = a \cdot t = \frac{F}{m} \cdot \sqrt {\frac{{2 \cdot x \cdot m}}{F}}  = \sqrt {\frac{{2 \cdot x \cdot F}}{m}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[v_{\rm{B}} = \sqrt {\frac{{2 \cdot 5{,}0\,{\rm{m}} \cdot 10\,{\rm{N}}}}{1{,}0\,\rm{kg}}}  = 10\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\]

b)

Für die Rollreibungskraft gilt\[{F_{{\rm{RR}}}} =  - {\mu _{{\rm{RR}}}} \cdot {F_{\rm{G}}} =  - {\mu _{{\rm{RR}}}} \cdot m \cdot g\]Somit gilt für die Beschleunigung zwischen \(\rm{B}\) und \(\rm{C}\)\[F = m \cdot a \Leftrightarrow a = \frac{F}{m} = \frac{{{F_{{\rm{RR}}}}}}{m} = \frac{{ - {\mu _{{\rm{RR}}}} \cdot m \cdot g}}{m} =  - {\mu _{{\rm{RR}}}} \cdot g\]Berechnung der Geschwindigkeit im Punkt \(\rm{C}\):\[{v_{\rm{C}}}^2 - {v_{\rm{B}}}^2 = 2 \cdot a \cdot x \Rightarrow {v_{\rm{C}}} = \sqrt {2 \cdot a \cdot x + {v_{\rm{B}}}^2}  = \sqrt {{v_{\rm{B}}}^2 - 2 \cdot {\mu _{{\rm{RR}}}} \cdot g \cdot x} \]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{v_{\rm{C}}} = \sqrt {2 \cdot a \cdot x + {v_{\rm{B}}}^2}  = \sqrt {{{\left( {10\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)}^2} - 2 \cdot 0{,}40 \cdot 9{,}8\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^2}}} \cdot 10{,}5\,{\rm{m}}}  = 4{,}2\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]Berechnung der Zeit für die Strecke \(\overline {\rm{BC}}\):\[{v_{\rm{C}}} - {v_{\rm{B}}} = a \cdot t \Leftrightarrow t = \frac{{{v_{\rm{C}}} - {v_{\rm{B}}}}}{a} = \frac{{{v_{\rm{C}}} - {v_{\rm{B}}}}}{{ - {\mu _{{\rm{RR}}}} \cdot g}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[t = \frac{{4{,}2\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} - 10\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{ -0{,}40 \cdot 9{,}8\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^2}}}}} = 1{,}5\,{\rm{s}}\]

c)

Überlegung im mitbeschleunigten System: Damit sich der Körper auf der Kreisbahn hält, muss die Zentrifugalkraft größer als die Gewichtskraft sein\[{F_{{\rm{ZP}}}} \ge {F_{\rm{G}}} \Leftrightarrow m \cdot \frac{{{v_{\rm{S}}}^2}}{r} \ge m \cdot g \Leftrightarrow r \le \frac{{{v_{\rm{S}}}^2}}{g}\]Berechnung von \({{v_{\rm{S}}}}\) über den Energiesatz\[{E_{{\rm{kin,C}}}} = {E_{{\rm{kin,S}}}} + {E_{{\rm{pot,S}}}} \Leftrightarrow \frac{1}{2} \cdot m \cdot {v_{\rm{C}}}^2 = \frac{1}{2} \cdot m \cdot {v_{\rm{S}}}^2 + m \cdot g \cdot 2 \cdot r \Leftrightarrow {v_{\rm{S}}}^2 = {v_{\rm{C}}}^2 - 4 \cdot g \cdot r\]Setzt man dieses Ergebnis in die obige Bedingung für \(r\) ein, so folgt\[r \le \frac{{{v_{\rm{C}}}^2 - 4 \cdot g \cdot r}}{g} \Leftrightarrow r \cdot g \le {v_{\rm{C}}}^2 - 4 \cdot g \cdot r \Leftrightarrow 5 \cdot r \cdot g \le {v_{\rm{C}}}^2 \Leftrightarrow r \le \frac{{{v_{\rm{C}}}^2}}{{5 \cdot g}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[r \le \frac{{{{\left( {4{,}2\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)}^2}}}{{5 \cdot 9{,}8\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^2}}}}} = 0{,}36\,{\rm{m}}\]

d)

Der Körper führt einen waagrechten Wurf mit der horizontal gerichteten Anfangsgeschwindigkeit \(v_{\rm{D}}\) aus. Wenn der Körper unter \(45^\circ \) auf den Boden trifft, muss die Horizontalkomponente (x-Komponente) der Geschwindigkeit \(v_{\rm{D}}\) gleich deren Vertikalkomponente (y-Komponente) sein. Die Vertikalkomponente kann aus der Fallhöhe mit den Formeln für den freien Fall bestimmt werden. Damit kennt man dann auch \(v_{\rm{D}}\)\[{v_y}^2 = 2 \cdot g \cdot h \Rightarrow {v_y} = \sqrt {2 \cdot g \cdot h}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[v_y = \sqrt {2 \cdot 9{,}8\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^2}}} \cdot 0{,}45\,{\rm{m}}}  = 3{,}0\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\]

Grundwissen zu dieser Aufgabe