Kreisbewegung

Aufgabe

Betrag der Zentripetalbeschleunigung mit Winkelgeschwindigkeit - Formelumstellung

Schwierigkeitsgrad: leichte Aufgabe

Um Aufgaben rund um den Betrag der Zentripetalbeschleunigung mit der Winkelgeschwindigkeit zu lösen musst du häufig die Gleichung \(a_{\rm{ZP}}=\omega^ \cdot r\) nach einer Größe, die unbekannt ist, auflösen. Wie du das machen kannst zeigen wir dir in der folgenden Animation.

Auflösen von\[{{a_{\rm{ZP}}}} = {{\omega}}^2 \cdot {{r}}\]nach ...

Die Gleichung\[{\color{Red}{{a_{\rm{ZP}}}}} = {{\omega}}^2 \cdot {{r}}\]ist bereits nach \({\color{Red}{{a_{\rm{ZP}}}}}\) aufgelöst. Du brauchst also keine Umformungen durchzuführen.

Um die Gleichung\[{{a_{\rm{ZP}}}} = {\color{Red}{{\omega}}}^2 \cdot {{r}} \]nach \({\color{Red}{{\omega}}}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:

Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.\[ {\color{Red}{{\omega}}}^2 \cdot {{r}} = {{a_{\rm{ZP}}}}\]

Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \( {{r}}\). Kürze direkt das \( {{r}}\) auf der linken Seite der Gleichung.\[{\color{Red}{{\omega}}}^2 = \frac{{{a_{\rm{ZP}}}}}{ {{r}}}\]

Ziehe auf beiden Seiten der Gleichung die Quadratwurzel.\[{\color{Red}{{\omega}}} = \sqrt{\frac{{{a_{\rm{ZP}}}}}{ {{r}}}}\]Die Gleichung ist nach \({\color{Red}{{\omega}}}\) aufgelöst.

Um die Gleichung\[{{a_{\rm{ZP}}}} = {{\omega}}^2 \cdot {\color{Red}{{r}}}\]nach \({\color{Red}{{r}}}\) aufzulösen, musst du zwei Umformungen durchführen:

Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.\[ {{\omega}}^2 \cdot {\color{Red}{{r}}} = {{a_{\rm{ZP}}}}\]

Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \( {{\omega}}^2\). Kürze direkt das \( {{\omega}}^2\) auf der linken Seite der Gleichung.\[{\color{Red}{{r}}} = \frac{{{a_{\rm{ZP}}}}}{ {{\omega}}^2}\]Die Gleichung ist nach \({\color{Red}{{r}}}\) aufgelöst.

Abb. 1 Schrittweises Auflösen der Formel für den Betrag der Zentripetalbschleunigung mit Winkelgeschwindigkeit bei der gleichförmigen Kreisbewegung nach den drei in der Formel auftretenden Größen

Die Trommel einer Zentrifuge mit dem Radius \(25\,\rm{cm}\) dreht sich horizontal mit einer Winkelgeschwindigkeit von \(250\,\frac{1}{\rm{s}}\).

Berechne den Betrag der Zentripetalbeschleunigung, die ein Wasserteilchen im Stoffgewebe in der Zentrifuge erfährt.

Auf dem Rande der runden, horizontalen Scheibe eines Drehschemels mit dem Radius \(25\,\rm{cm}\) liegt ein Holzklotz. Der Holzklotz erfährt eine Zentripetalbeschleunigung vom Betrag \(3{,}3\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2}\).

Berechne, mit welcher Winkelgeschwindigkeit die Scheibe rotiert.

In einem Trainingszentrum für Astronautinnen soll mit Hilfe einer Humanzentrifuge eine Kandidatin eine Zentripetalbeschleunigung vom Betrag \(40\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2}\) erfahren. Die Zentrifuge rotiert mit der maximalen Winkelgeschwindigkeit \(2{,}0\,\frac{1}{\rm{s}}\).

Berechne, wie lang der Arm der Zentrifuge sein muss.

Lösung

Drucken

Lösung einblendenLösung verstecken Lösung einblendenLösung verstecken

Vorlesen

Mit \(\omega=250\,\frac{1}{\rm{s}}\) und \(r=25\,\rm{cm}=0{,}25\,\rm{m}\) nutzen wir die Formel für den Betrag der Zentripetalbeschleunigung mit Winkelgeschwindigkeit\[a_{\rm{ZP}}=\omega^2 \cdot r\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert (bei zwei gültigen Ziffern Genauigkeit)\[a_{\rm{ZP}}=\left(250\,\frac{1}{\rm{s}}\right)^2 \cdot 0{,}25\,{\rm{m}}={16000\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2}} \approx 1600\,g\]

Mit \(a_{\rm{ZP}}=3{,}3\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2}\) und \(r=25\,\rm{cm}=0{,}25\,\rm{m}\) nutzen wir die Formel für den Betrag der Zentripetalbeschleunigung mit Winkelgeschwindigkeit\[a_{\rm{ZP}}=\omega^2 \cdot r \Rightarrow \omega=\sqrt{\frac{a_{\rm{ZP}}}{r}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert (bei zwei gültigen Ziffern Genauigkeit)\[\omega=\sqrt{\frac{3{,}3\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2}}{0{,}25\,\rm{m}}}=3{,}6\,\frac{1}{\rm{s}}\]

Mit \(a_{\rm{ZP}}=40\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2}\) und \(\omega=2{,}0\,\frac{1}{\rm{s}}\) nutzen wir die Formel für den Betrag der Zentripetalbeschleunigung mit Winkelgeschwindigkeit\[a_{\rm{ZP}}=\omega^2 \cdot r \Leftrightarrow r=\frac{a_{\rm{ZP}}}{\omega^2}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert (bei zwei gültigen Ziffern Genauigkeit)\[r=\frac{40\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2}}{\left(2{,}0\,\frac{1}{\rm{s}}\right)^2}=10\,\rm{m}\]

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Mechanik

Kreisbewegung

Betrag der Zentripetalbeschleunigung mit Winkelgeschwindigkeit - Formelumstellung

Lösung

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Mechanik

Kreisbewegung

Vorherige Aufgabe

Nächste Aufgabe

Aus unseren Projekten:

Ihr Kontakt zu uns: