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Aufgabe

Betrag der Zentripetalbeschleunigung mit Bahngeschwindigkeit - Formelumstellung

Schwierigkeitsgrad: leichte Aufgabe

Um Aufgaben rund um den Betrag der Zentripetalbeschleunigung mit der Bahngeschwindigkeit zu lösen musst du häufig die Gleichung \(a_{\rm{ZP}}=\frac{v^2}{r}\) nach einer Größe, die unbekannt ist, auflösen. Wie du das machen kannst zeigen wir dir in der folgenden Animation.

Die Gleichung\[{\color{Red}{{a_{\rm{ZP}}}}} = \frac{{{v}}^2}{{{r}}}\]ist bereits nach \({\color{Red}{{a_{\rm{ZP}}}}}\) aufgelöst. Du brauchst also keine Umformungen durchzuführen.
Um die Gleichung\[{{a_{\rm{ZP}}}} = \frac{{{\color{Red}{{v}}}}^2}{{{r}}}\]nach \({\color{Red}{{v}}}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.\[ \frac{{\color{Red}{{v}}}^2}{{{r}}} ={{a_{\rm{ZP}}}}\]
Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit \({{r}}\). Kürze direkt das \({{r}}\) auf der linken Seite der Gleichung.\[ {\color{Red}{{v}}}^2 = {{a_{\rm{ZP}}}} \cdot {{r}}\]
Ziehe auf beiden Seiten der Gleichung die Quadratwurzel.\[{\color{Red}{{v}}} = \sqrt{{{a_{\rm{ZP}}}} \cdot {{r}}}\]Die Gleichung ist nach \({\color{Red}{{v}}}\) aufgelöst.
Um die Gleichung\[{{a_{\rm{ZP}}}} = \frac{{{v}}^2}{{{\color{Red}{{r}}}}}\]nach \({\color{Red}{{r}}}\) aufzulösen, musst du zwei Umformungen durchführen:


Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit \({\color{Red}{{r}}}\). Kürze direkt das \({\color{Red}{{r}}}\) auf der rechten Seite der Gleichung.\[{{a_{\rm{ZP}}}} \cdot {\color{Red}{{r}}} = {{v}}^2\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \({{a_{\rm{ZP}}}}\). Kürze direkt das \({{a_{\rm{ZP}}}}\) auf der linken Seite der Gleichung.\[{\color{Red}{{r}}} = \frac{{{v}}^2}{{{a_{\rm{ZP}}}}}\]Die Gleichung ist nach \({\color{Red}{{r}}}\) aufgelöst.
Abb. 1 Schrittweises Auflösen der Formel für den Betrag der Zentripetalbschleunigung mit Bahngeschwindigkeit bei der gleichförmigen Kreisbewegung nach den drei in der Formel auftretenden Größen
a)

Ein Mensch befindet sich am Äquator in einem Abstand von \(6378\,{\rm{km}}\) zum Erdmittelpunkt. Aufgrund der Erdrotation besitzt der Mensch an diesem Ort eine Bahngeschwindigkeit von \(1674\,\frac{\rm{km}}{\rm{h}}\).

Berechne den Betrag der Zentripetalbeschleunigung, die der Mensch erfährt.

b)

Ein Fahrzeug bewegt sich in einer kreisbogenförmigen Kurve mit dem Radius \(120\,{\rm{m}}\). Die Zentripetalbeschleunigung darf aus Sicherheitsgründen höchstens \(5{,}0\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2}\) betragen.

Berechne die unter diesen Umständen zulässige Höchstgeschwindigkeit des Fahrzeugs.

c)

Für ein Karussel in einem Vergnügungspark gelten die Sicherheitsanforderungen, dass die Bahngeschwindigkeit maximal \(54\,\frac{\rm{km}}{\rm{h}}\) betragen und eine Person eine maximale Zentripetalbeschleunigung von \(20\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2}\) erfahren darf.

Berechne den maximalen Radius der Kreisbahn, auf dem sich die Person bewegen darf.

Lösung einblendenLösung verstecken Lösung einblendenLösung verstecken
a)

Mit \(v=1674\,\frac{\rm{km}}{\rm{h}}=465{,}0\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\) und \(r=6378\,{\rm{km}}=6378 \cdot 10^3\,{\rm{m}}\) nutzen wir die Formel für den Betrag der Zentripetalbeschleunigung mit Bahngeschwindigkeit\[a_{\rm{ZP}}=\frac{v^2}{r}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert (bei vier gültigen Ziffern Genauigkeit)\[a_{\rm{ZP}}=\frac{\left(465{,}0\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\right)^2}{6378 \cdot 10^3\,{\rm{m}}}=0{,}3390\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2}\]

b)

Mit \(a_{\rm{ZP}}=5{,}0\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2}\) und \(r=120\,{\rm{m}}\)  nutzen wir die Formel für den Betrag der Zentripetalbeschleunigung mit Bahngeschwindigkeit\[a_{\rm{ZP}}=\frac{v^2}{r} \Rightarrow v=\sqrt{a_{\rm{ZP}} \cdot r}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert (bei zwei gültigen Ziffern Genauigkeit)\[v=\sqrt{5{,}0\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2} \cdot 120\,{\rm{m}}}=24\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}=86\,\frac{\rm{km}}{\rm{h}}\]

c)

Mit \(a_{\rm{ZP}}=20\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2}\) und \(v=54\,\frac{\rm{km}}{\rm{h}}=15\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\) nutzen wir die Formel für den Betrag der Zentripetalbeschleunigung mit Bahngeschwindigkeit\[a_{\rm{ZP}}=\frac{v^2}{r} \Leftrightarrow r=\frac{v^2}{a_{\rm{ZP}}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert (bei zwei gültigen Ziffern Genauigkeit)\[r=\frac{\left(15\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\right)^2}{20\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2}}=11\,\rm{m}\]

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Mechanik

Kreisbewegung