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Aufgabe

Bahngeschwindigkeit im Kettenkarussell

Schwierigkeitsgrad: leichte Aufgabe

Ein Kettenkarussell dreht sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit. Die Länge der Kette (bis zum Körperschwerpunkt) sei \(l = 15\,\rm{m}\). Die Weite des Winkels zwischen der Drehachse und der Kette sei \(\alpha  = 56^\circ \). Der Mann auf dem Karussell hat die Masse \(75\,\rm{kg}\).

a)Zeichne in die nebenstehende Skizze die äußeren Kräfte und deren Resultierende ein.

Charakterisiere diese Kräfte kurz.

b)Berechne mit Hilfe des Kräftediagrammes die Bahngeschwindigkeit des Mannes.

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a)Auf den Mann und die Gondel mit Kette wirken zwei Kräfte. Nach unten hin die Gewichtskraft \( \vec F_\text{G} \) und durch die Kette die Zugkraft \( \vec F_\text{S}\). Die Resultierende der beiden Kräfte ist die Zentripetalkraft \( \vec F_\text{ZP} \), die die Gondel auf ihrer Kreisbahn hält.

b)Für den Betrag der Zentripetalkraft gilt\[ F_\text{ZP} = \frac{m \cdot v^2}{r} \quad (1)\]In der Skizze erkennt man ein rechtwinkliges Dreieck mit dem Winkel der Weite \(\alpha\), der Kettenlänge \(l\) als einer zweiten Seite und dem (nicht eingezeichneten) Bahnradius \(r\) als dritter Seite. Mit dem Sinussatz im rechtwinkligen Dreieck erhält man\[\sin \left( \alpha  \right) = \frac{r}{l} \Leftrightarrow r = l \cdot \sin \left( \alpha  \right) \quad (2)\]Die Winkelweite \(\alpha\) findet sich noch einmal wieder (nicht eingezeichnet), nämlich am unteren Eckpunkt des rechtwinkligen Dreiecks, das aus Gewichtskraft, Zentripetalkraft und dem rot gestrichelten Kraftpfeil gebildet wird. Mit dem Tangenssatz im rechtwinkligen Dreieck erhält man\[\tan \left( \alpha  \right) = \frac{{{F_{{\rm{ZP}}}}}}{{{F_{\rm{G}}}}} \Leftrightarrow {F_{{\rm{ZP}}}} = {F_{\rm{G}}} \cdot \tan \left( \alpha  \right)\]und mit \({F_{\rm{G}}} = m \cdot g\)\[{F_{{\rm{ZP}}}} = m \cdot g \cdot \tan \left( \alpha  \right) \quad(3)\] Mit diesen Angaben lässt sich nun die Bahngeschwindigkeit \(v\) in Gleichung \((1)\) errechnen:\[{F_{{\rm{ZP}}}} = \frac{{m \cdot {v^2}}}{r}\underbrace  \Leftrightarrow _{(3)}m \cdot g \cdot \tan \left( \alpha  \right) = \frac{{m \cdot {v^2}}}{r}\underbrace  \Leftrightarrow _{(2)}m \cdot g \cdot \tan \left( \alpha  \right) = \frac{{m \cdot {v^2}}}{{l \cdot \sin \left( \alpha  \right)}}\]Auflösen dieser Gleichung nach \(v\) ergibt\[v = \sqrt {l \cdot \sin \left( \alpha  \right) \cdot g \cdot \tan \left( \alpha  \right)} \]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[v = \sqrt {15\,{\rm{m}} \cdot \sin \left( {56^\circ } \right) \cdot 9{,}81\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot \tan \left( {56^\circ } \right)}  = 13{,}4\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Mechanik

Kreisbewegung