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Versuche

Dehnung zweier Federn und eines Gummis

Versuch 1: Aufbau und Durchführung

Eine Feder wird wie in Bild 1 an einem Haken aufgehängt. Neben der Feder wird ein Lineal platziert, um später die Dehnung (Verlängerung) der Feder messen zu können.

Zunächst ist die Feder unbelastet.

Anschließend werden jeweils Körper mit der Gewichtskraft von \(F=0{,}5\,{\rm{N}}\) an die Feder gehängt.

Aufgabe

a) Entnimm den Bildern der oberen Bilderserie die Position \(x\) des unteren Endes der Feder (markiert durch den unteren roten Marker), die Verlängerung \(\Delta x\) der Feder (jeweils auf \(1\,\rm{cm}\) genau) sowie die Gesamtgewichtskraft \(F\) der angehängten Körper und trage diese in die folgende Tabelle ein.

\(x\;\text{in cm}\) 30        
\(\Delta x\;\text{in cm}\) 0        
\(F\,\text{in N}\) 0        
\(\frac{F}{{\Delta x}}\;{\rm{in}}\;\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{cm}}}}\)          

Lösung

\(x\;\text{in cm}\) 30 37 44 51 59
\(\Delta x\;\text{in cm}\) 0 7 14 21 29
\(F\,\text{in N}\) 0 0,5 1,0 1,5 2,0
\(\frac{F}{{\Delta x}}\;{\rm{in}}\;\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{cm}}}}\)          

b) Berechne jeweils aus den Werten \(F\) und \(\Delta x\) die Werte \(\frac{F}{{\Delta x}}\) und trage diese ebenfalls in die Tabelle aus Aufgabenteil a) ein. Erläutere anschließend die physikalische Bedeutung der berechneten Werte.

Lösung

\(x\;\text{in cm}\) 30 37 44 51 59
\(\Delta x\;\text{in cm}\) 0 7 14 21 29
\(F\,\text{in N}\) 0 0,5 1,0 1,5 2,0
\(\frac{F}{{\Delta x}}\;{\rm{in}}\;\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{cm}}}}\) - 0,07 0,07 0,07 0,07

Die Werte des Quotienten \(\frac{F}{{\Delta x}}\) sind gleich, der Quotient ist also konstant. Dabei gibt der Wert des Quotienten \(\frac{F}{{\Delta x}}\), die sog. Federkonstante \(D\) an, welche Kraft aufgebracht werden muss, um die Federn im \(1\,\rm{cm}\) zu dehnen. Bei dieser Feder musst du etwa \(0{,}07\,\rm{N}\) aufbringen, um die Feder \(1\,\rm{cm}\) zu dehnen.

Versuch 2: Eine andere Feder

Nun wird der Versuch in gleicher Art und Weise nur mit einer anderen Feder, Feder 2, durchgeführt.

Aufgabe

a) Entnimm den Bildern der oberen Bilderserie die Position \(x\) des unteren Endes der Feder (markiert durch den unteren roten Marker), die Verlängerung \(\Delta x\) der Feder (jeweils auf \(1\,\rm{cm}\) genau) sowie die Gesamtgewichtskraft \(F\) der angehängten Körper und trage diese in die folgende Tabelle ein.

\(x\;\text{in cm}\) 15      
\(\Delta x\;\text{in cm}\)        
\(F\,\text{in N}\)        
\(\frac{F}{{\Delta x}}\;{\rm{in}}\;\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{cm}}}}\)        

b) Berechne jeweils aus den Werten \(F\) und \(\Delta x\) die Werte \(\frac{F}{\Delta x}\) und trage diese ebenfalls in die Tabelle aus Aufgabenteil a) ein. Erläutere anschließend die physikalische Bedeutung der berechneten Werte.

Lösung

\(x\;\text{in cm}\) 15 30 45 60
\(\Delta x\;\text{in cm}\) 0 15 30 45
\(F\,\text{in N}\) 0 0,5 1 1,5
\(\frac{F}{{\Delta x}}\;{\rm{in}}\;\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{cm}}}}\) - 0,03 0,03 0,03

Die Werte des Quotienten \(\frac{F}{\Delta x}\) sind auch hier gleich, der Quotient ist also konstant. Dabei gibt der Wert des Quotienten \(\frac{F}{\Delta x}\), die sog. Federkonstante an, welche Kraft aufgebracht werden muss, um die Federn im \(1\,\rm{cm}\) zu dehnen. Bei dieser Feder musst du etwa \(0{,}03\,\rm{N}\) aufbringen, um die Feder \(1\,\rm{cm}\) zu dehnen.

Versuch 3: Dehnung eines Gummiseils

Wie in der folgenden Bilderserie gezeigt wird nun anstatt einer Feder im Versuch ein Gummiseil verwendet. Zunächst ist das Gummiseil unbelastet. Anschließend werden jeweils Körper mit der Gewichtskraft von \(F=0{,}5\,\rm{N}\) an das Seil gehängt.

Aufgabe

a) Entnimm den Bildern der oberen Bilderserie die Position \(x\) des unteren Endes des Gummiseils (markiert durch den unteren roten Marker), die Verlängerung \(\Delta x\) des Gummiseils (jeweils auf \(0{,}5\,\rm{cm}\) genau) sowie die Gesamtgewichtskraft \(F\) der angehängten Körper und trage diese in die folgende Tabelle ein.

Berechne anschloeßend jeweils aus den Werten \(F\) und \(\Delta x\) die Werte \(\frac{F}{\Delta x}\) und trage diese ebenfalls in die Tabelle ein.

\(x\;\text{in cm}\) 20,0            
\(\Delta x\;\text{in cm}\)              
\(F\,\text{in N}\)              
\(\frac{F}{{\Delta x}}\;{\rm{in}}\;\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{cm}}}}\)              

b) Erläutere die physikalische Bedeutung der Ergebnisse aus Aufgabenteil a) und vergleiche die Ergebnisse mit den Ergebnissen der beiden Versuche mit den Federn.

Lösung

a) Es ergibt sich folgende Messwerttabelle

\(x\;\text{in cm}\) 20,0 21 22,5 24,5 28,0 31,5 35,5
\(\Delta x\;\text{in cm}\) 0 1,0 2,5 4,5 8,0 11,5 15,5
\(F\,\text{in N}\) 0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0
\(\frac{F}{{\Delta x}}\;{\rm{in}}\;\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{cm}}}}\) - 0,50 0,40 0,33 0,25 0,22 0,19

b) Beim Gummiseil ist der Quotient aus Kraft \(F\) und Dehnung des Seils \(\Delta x\) nicht konstant, sondern wird hier immer kleiner. Die Kraft, die du benötigst um das Seil 1 cm zu dehnen, hängt hier davon ab, wie weit das Gummiseil zuvor schon gedehnt wurde. Dies unterscheidet das Versuchsergebnis von den Ergebnissen in den Experimenten mit den Federn. Bei einer Feder ist die benötigte Kraft zur Dehnung um eine bestimmte Länge (im Normalfall) konstant.

Ergänzende graphische Auswertung

Diagramm zur Dehnung von Federn und Gummiseil
Abb. 4 Diagramm zur Versuchsauswertung

Ergänzend ist auch eine graphische Auswertung der Versuche möglich. Trage hierzu wie in Abb. 4 für alle drei Versuche die jeweiligen Wertepaare \(\left( {\Delta x|F} \right)\) in ein geeignet skaliertes Koordinatensystem ein.

Tipp zur Skalierung des Koordinatensystems:

  • \(x\)-Achse: \(1\,\rm{cm}\) in der Zeichnung entspricht \(5\,\rm{cm\) Dehnung
  • \(y\)-Achse: \(4\,\rm{cm}\) in der Zeichnung entsprechen \(1\,\rm{N}\)

 Interpretation des Diagramms

Die Wertepaare der beiden Federn liegen jeweils in etwa auf einer Ursprungsgeraden. Entsprechend sind die Dehnung \(\Delta x\) der Feder und die dafür nötige Zugkraft \(F\) proportional zueinander. Die Proportionalitätskonstante wird Federkonstante \(D\) genannt und unterscheidet sich zwischen den beiden Federn, was in den unterschiedlichen Steigungen der beiden Gerade deutlich wird.

Die Wertepaare des Gummiseils liegen hingegen nicht auf einer Ursprungsgeraden. Der Zusammenhang zwischen der Dehnung \(\Delta x\) des Gummiseils und der dafür nötigen Zugkraft \(F\) daher viel komplexer und lässt sich mit dem HOOKEschen Gesetz nicht beschreiben.