Mechanik

Kraft und das Gesetz von HOOKE

Umstellen einer Gleichung

  • Wie werden im Alltag Kräfte gemessen?
  • Wie funktioniert eine Federwaage?
  • Biegt sich eine Betondecke eigentlich durch, wenn man auf ihr steht?
  • Was versteht man unter einer Zerreißprobe?

Umstellen einer Gleichung

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Formeln musst du manchmal umstellen, um die gesuchte Größe berechnen zu können.
  • Hilfreich als Merkregel ist dabei das entsprechende Größendreieck.

Bei Aufgaben zum Gesetz von Hooke reicht es nicht aus, nur die Definitionsgleichung der Federhärte \(D\) zu kennen:

\[{D = \frac{{\Delta F}}{{\Delta x}}}\]

Man muss vielmehr diese Definitionsgleichung auch nach den Größen \(\Delta F\) oder \(\Delta x\) auflösen können, um anderen Aufgabenstellungen gerecht zu werden. Hierzu benötigst du nur ein wenig Algebra.

1 Auflösen der Gleichung \(D = \frac{{\Delta F}}{{\Delta x}}\) (Gesetz von HOOKE) nach \(\Delta F\)
Auflösen nach \(\Delta F\):
2 Auflösen der Gleichung \(D = \frac{{\Delta F}}{{\Delta x}}\) (Gesetz von HOOKE) nach \(\Delta x\)
Auflösen nach \(\Delta x\):

Vorsicht beim Auflösen nach \(\Delta x\)

Ein häufiger Fehler beim Auflösen nach \(\Delta x\) schaut wie folgt aus:

\[\left. {D = \frac{{\Delta F}}{{\Delta x}}} \right|:\Delta F \Leftrightarrow \underbrace {\frac{D}{{\Delta F}} = \Delta x \Leftrightarrow \Delta x = \frac{D}{{\Delta F}}}_{falsch}\]

Die richtige, aber kompliziertere Umformung (da nur nach \(\frac{1}{{\Delta x}}\) aufgelöst wird und man dann auch noch den Kehrwert bilden müsste, um auf \(\Delta x\) zu gelangen) würde lauten:

\[\left. {D = \frac{{\Delta F}}{{\Delta x}}} \right|:\Delta F \Leftrightarrow \frac{D}{{\Delta F}} = \frac{1}{{\Delta x}} \Leftrightarrow \frac{1}{{\Delta x}} = \frac{D}{{\Delta F}}\]

Es ist sehr zu empfehlen, sich die oben dargestellten Vorgehensweisen einzuprägen.

3 Auflösen der Gleichung \(D = \frac{{\Delta F}}{{\Delta x}}\) (Gesetz von HOOKE) nach irgendeiner gesuchten Größe
Größendreieck als Merkhilfe

Das in Abb. 3 dargestellte Dreick kann dir als Merkhilfe zum richtigen Formelumstellen dienen.

  • Du ordnest die drei Größen \(\Delta F\), \(\Delta x\) und \(D\) auf die nebenstehend dargestellte Weise in einem Dreieck an.
  • Willst du nun nach einer bestimmten Größe auflösen, so denkst du dir diese aus dem Dreieck weg.
    Die Position der verbleibenden Größen zeigt, wie der Term auf der rechten Gleichungsseite aussehen muss:
    Stehen die beiden Größen übereinander, so musst du die obere durch die untere Größe dividieren.
    Stehen die beiden Größen nebeneinander so musst du die beiden Größen multiplizieren.

Schreibweise ohne \(\Delta\)

Wir haben das Gesetz von Hooke bewusst mit \(\Delta F\) und \(\Delta x\) geschrieben, um klar zu machen, dass es auf die Änderungen ankommt. Unter gewissen Voraussetzungen kann die Formel auch einfacher angeschrieben werden:

Hatte zu Beginn eines betrachteten Vorgangs die Anfangskraft \({F_a}\) den Wert Null, so gilt natürlich:

\(\Delta F = {F_e} - {F_a} \Rightarrow \Delta F = {F_e} - 0 = {F_e}\), verkürzt \(\Delta F = F\)

War ebenso zu Beginn des betrachteten Vorgangs die Anfangsverlängerung \({x_a}\) den Wert Null, so gilt analog:

\(\Delta x = {x_e} - {x_a} \Rightarrow \Delta x = {x_e} - 0 = {x_e}\), verkürzt \(\Delta x = x\)

Dann gilt für das Gesetz von Hooke: \[D = \frac{F}{x}\]

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