Mechanik

Kraft und das Gesetz von HOOKE

Gesetz von HOOKE

  • Wie werden im Alltag Kräfte gemessen?
  • Wie funktioniert eine Federwaage?
  • Biegt sich eine Betondecke eigentlich durch, wenn man auf ihr steht?
  • Was versteht man unter einer Zerreißprobe?

Gesetz von HOOKE

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Das HOOKEsche Gesetz beschreibt die Wirkung einer Kraft auf elastische Körper wie Federn.
  • Die Federkonstante (Federhärte) wird mit \(D\) bezeichnet.
  • Es gilt \(F=D\cdot \Delta x\) mit der Längenänderung der \(\Delta x\) der Feder.

Kraftwirkung auf elastische Körper

Größen der Längenänderung beim Hookeschen Gesetz
Abb.
1
Größen der Längenänderung beim Hookeschen Gesetz

Das Gesetz von HOOKE beschreibt die Wirkung einer Kraft auf elastische Körper. Dies sind z.B. Federn oder Gummibänder. Elastische Körper gehen nach einer Belastung durch Zug in ihre ursprüngliche Lage zurück.

Auf die links aufgehängte Feder in Abb. 1 wirkt nur ihre Gewichtskraft \({F_0}\), da an sie keine Kugel angehängt ist. Sie hat so ohne äußere Belastung die Länge \({x_0}\). Belastest du die Feder bspw. durch Anhängen einer Kugel so, wirkt zusätzlich eine Kraft \(F_{\rm{Kugel}}\) auf die Feder. Insgesamt wirkt jetzt also die Kraft \(F=F_0+F_{\rm{Kugel}}\) auf die Feder.

Die Feder dehnt sich aus und hat nun mit angehängter Kugel die Länge \(x\). Die Längenänderung \(\Delta x\) der Feder ist also \(\Delta x=x-x_0\). 

Das HOOKEsche Gesetz

Natürlich hängt die Längenänderung auch von der zusätzlichen Kraft \(F\) ab, die bspw. durch Anhängen von Kugeln mit unterschiedlichen Massen verändert werden kann.

In Versuchen kannst du zeigen, dass der Quotient aus Kraftzunahme und Längenzunahme der Feder konstant ist. Diese Konstante wird als Federhärte oder Federkonstante \(D\) bezeichnet.\[\bbox[aquamarine,10pt,border:2px solid black]{D = \frac{{\rm{Kraftänderung}}}{{\rm{Längenänderung}}}}\]

Den Zusammenhang zwischen der Federkonstanten \(D\), der Änderung der wirkenden Kraft \(\Delta F\) und der Längenänderung \(\Delta x\) der Feder beschreibt das HOOKEsche Gesetz.

HOOKEsches Gesetz

\[D = \frac{{F - {F_0}}}{{x - {x_0}}} = \frac{{\Delta F}}{{\Delta x}}\qquad \text{bzw. } \qquad \Delta F= D\cdot \Delta x\]

Verkürzte Schreibweise

Mit \(\Delta \) bezeichnet man in der Physik Differenzen zwischen zwei gleichartigen physikalischen Größen:

\(\Delta x\) = Endwert einer Länge - Anfangswert einer Länge (also nicht \(\Delta x\) mit der Federlänge verwechseln!)

\(\Delta F\) = Endwert einer Kraft - Anfangswert einer Kraft

Entsprechend beschreibt das Hookesche Gesetz eine Längenänderung in Folge einer Kraftänderung.

Um sich die vielen Differenzen bzw, \(\Delta\)-Zeichen zu sparen, kann man auch eine verkürzte Schreibweise nutzen: Anstatt \(\Delta F\) schreibt man häufig einfach \(F\) und bezeichnet damit die Gewichtskraft der an die Feder angehängten Masse. Und anstatt \(\Delta x\) findet sich häufig auch der Ausdruck \(s\) für die Strecke, um die sich die Feder verlängert hat.

Entsprechend lautet das Hookesche Gesetz in verkürzter Form: \[F=D\cdot s\]

Grenzen der Gültigkeit

Der Gültigkeitsbereich des HOOKEschen Gesetzes ist (wie der eines jeden physikalischen Gesetzes) beschränkt. So kann man nach Hooke z.B. nicht die Verlängerung einer in der Schule üblichen Schraubenfeder berechnen, wenn man sie mit \(4000\,\rm{N}\) belastet. Hier würde die Feder einfach brechen.

Hilfen für Aufgaben

Bei vielen Aufgaben ist die Masse \(m\) eines Körpers gegeben, mit der die Feder zusätzlich belastet wird. Um das Gesetz von Hooke anwenden zu können, musst du zuerst die Gewichtskraft \({F_g}\) des Körpers nach der Beziehung \({F_g} = m \cdot g\) berechnen. Dabei bedeutet \(g\) die Erdbeschleunigung, also \(9{,}81\,\rm{\frac{m}{s^2}}\).

Um Aufgaben zum Gesetz von HOOKE zu lösen musst du häufig die Gleichung \({F_{\rm{F}}} = D \cdot s\) nach einer Größe, die unbekannt ist, auflösen. Wie du das machen kannst zeigen wir dir in der folgenden Animation.

Die Gleichung\[\color{Red}{F_{\rm{F}}} = {D} \cdot {s}\]ist bereits nach \(\color{Red}{F_{\rm{F}}}\) aufgelöst. Du brauchst also keine Umformungen durchzuführen.
Um die Gleichung\[{F_{\rm{F}}} = \color{Red}{D} \cdot {s}\]nach \(\color{Red}{D}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[\color{Red}{D} \cdot {s} = {F_{\rm{F}}}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \({s}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \({s}\) im Nenner steht.
\[\frac{\color{Red}{D} \cdot {s}}{{s}} = \frac{{F_{\rm{F}}}}{{s}}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \({s}\).\[\color{Red}{D} = \frac{{F_{\rm{F}}}}{{s}}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{D}\) aufgelöst.
Um die Gleichung\[{F_{\rm{F}}} = {D} \cdot \color{Red}{s}\]nach \(\color{Red}{s}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[{D} \cdot \color{Red}{s} = {F_{\rm{F}}}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \({D}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \({D}\) im Nenner steht.
\[\frac{{D} \cdot \color{Red}{s}}{{D}} = \frac{{F_{\rm{F}}}}{{D}}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \({D}\).\[\color{Red}{s} = \frac{{F_{\rm{F}}}}{{D}}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{s}\) aufgelöst.
2 Schrittweises Auflösen der Formel für das Gesetz von HOOKE nach den drei in der Formel auftretenden Größen

Eine unbelastete Feder der Länge \({{x_0} = 15{\rm{cm}}}\) wird bei einer Belastung von \({{F_1} = 0{,}60\,{\rm{N}}}\) auf die Länge \({{x_1} = 25\,{\rm{cm}}}\) gedehnt.

  1. Berechne die Federhärte \(D\) der Feder.

  2. Berechne, mit welcher Kraft \(F_2\) man an der Feder ziehen muss, damit sie dann eineinhalbmal so lang ist wie im unbelasteten Fall.

  3. Mit obiger Feder soll ein kalibrierter Kraftmesser gebaut werden. Berechne, um welche Strecke \(\Delta x'\) die Markierung der Hülse für \({{F_3} = 0{,}40\,{\rm{N}}}\) vom unteren Ende der Hülse entfernt sein muss.

  4. Nenne zwei Gründe, die gegen die Verwendung eines "Gummikraftmessers" sprechen.

Druckversion