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Aufgabe

Start eines Modellflugzeugs

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Abb. 1 Modellflugzeug mit Start-Gummi
Joachim Herz Stiftung
Abb. 2 Kraft-Längenänderungs-Diagramm

Zum Start von Modellflugzeugen verwendet man meist Gummiseile, die vorgedehnt werden und nach dem Loslassen das Flugzeug beschleunigen. Für ein im ungedehnten Zustand \(10{\rm{cm}}\) langes Probestück eines solchen Start-Gummis wurde dabei das dargestellte Kraft-Längenänderungs-Diagramm ermittelt.

a)

Gib begründet an, für welchen Kraftbereich bei dem Gummiseil das Gesetz von HOOKE gilt.

Berechne für diesen Bereich die "Gummihärte" \(D\).

b)

Für den Flugzeugstart sollte die Kraft stets mindestens \({12{\rm{N}}}\) betragen und außerdem das Gesetz von HOOKE gelten.

Untersuche, in welchem Längenänderungsbereich (bezogen auf das \(10{\rm{cm}}\)-Probestück) man den Gummi nur verwenden darf.

Berechne, um wie viel \({\rm{cm}}\) das Probestück seine Länge in diesem Bereich ändert.

c)

Gib begründet an, wie lang dieser günstige Längenänderungsbereich für einen Gummi ist, dessen Länge im ungedehnten Zustand \(40{\rm{cm}}\) beträgt.

d)

Berechne, auf welche Gesamtlänge der Gummi von Teilaufgabe c) vor dem Start mindestens gedehnt werden muss, wenn wieder die Mindestkraft \({12{\rm{N}}}\) betragen soll.

e)

Berechne, bei welcher Länge des Gummis von Teilaufgabe c) das Flugzeug ausklinken soll.

Berechne den Betrag der Kraft, die auf das Flugzeug unmittelbar beim Ausklinken des Gummis wirkt.

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Joachim Herz Stiftung
Abb. 3 Diagramm zur Lösung
a)

Das Gesetz von HOOKE gilt bei dem Gummiseil etwa bei einer Verlängerung \(4{\rm{cm}}\) bis zu einer Verlängerung von \(14{\rm{cm}}\). Für die Gummihärte \(D\) gilt in diesem Bereich\[D = \frac{{\Delta F}}{{\Delta x}} \Rightarrow D = \frac{{20{\rm{N}}}}{{10{\rm{cm}}}} = 2,0\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{cm}}}}\]

b)

Zur Kraft von \({12{\rm{N}}}\) gehört eine Verlängerung von ca. \({4,5{\rm{cm}}}\). Dem Gesetz von HOOKE gehorcht das Seil bis zur Verlängerung von \(14{\rm{cm}}\). Also gilt für den verwendbaren Längenänderungsbereich\[{4,5{\rm{cm}} < s < 14{\rm{cm}}}\]Die Länge des ursprünglich \(10{\rm{cm}}\) langen Gummiseils variiert dann im Bereich zwischen \(14,5{\rm{cm}}\) und \(24{\rm{cm}}\).

c)

Das \(40{\rm{cm}}\)-Gummiseil kann man sich aus vier "hintereinandergeschalteten" \(10{\rm{cm}}\)-Gummiseilen aufgebaut denken. Die Dehnung dieses langen Stücks ist dann bei gleicher Kraft stets viermal so groß wie beim kurzen Stück. Für den günstigen Längenänderungsbereich gilt dann\[{18{\rm{cm}} < s < 56{\rm{cm}}}\]

d)

Der Gummi muss mindestens auf die Länge \(40{\rm{cm}} + 18{\rm{cm}} = 58{\rm{cm}}\) gedehnt werden.

e)

Das Ausklinken soll beim entspannten Gummi stattfinden, also bei einer Länge von \(40{\rm{cm}}\). In diesem Fall wirkt keine Zugkraft mehr.

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Mechanik

Kraft und das Gesetz von HOOKE