Aufgabe
Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe
Wird Feder 1 mit einer Masse von \(100{\rm{g}}\) belastet, so dehnt sie sich um \(5,0{\rm{cm}}\) aus.
Berechne die Federhärte \(D_1\).
Wird Feder 2 mit einer Masse von \(100{\rm{g}}\) belastet, so dehnt sie sich um \(2,5{\rm{cm}}\) aus.
Berechne die Federhärte \(D_2\).
Nun werden die beiden Federn aneinandergehängt.
Berechne die Strecke, um die sich die Kombination ausdehnt, wenn man sie mit \(1,0{\rm{N}}\) belastet.
Berechne weiter die Federhärte \(D_{\rm{S}}\) dieser Serienschaltung von zwei Federn.
Leite einen allgemeinen Zusammenhang zwischen den \(D_1\), \(D_2\) und \(D_{\rm{S}}\) her.
Schließlich werden die beiden Federn ineinandergehängt.
Berechne die Kraft, mit der man die Kombination belasten muss, damit sie sich um \(7,0{\rm{cm}}\) ausdehnt.
Berechne weiter die Federhärte \(D_{\rm{P}}\) dieser Parallelschaltung von zwei Federn.
Leite einen allgemeinen Zusammenhang zwischen den \(D_1\), \(D_2\) und \(D_{\rm{P}}\) her.
Die Federhärte ergibt sich mit \[{D_1} = \frac{F}{{{s_1}}} = \frac{{m \cdot g}}{{{s_1}}} \Rightarrow {D_1} = \frac{{0,100{\rm{kg}} \cdot 10\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{kg}}}}}}{{5,0{\rm{cm}}}} = 0,20\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{cm}}}}\]
Die Federhärte ergibt sich mit \[{D_2} = \frac{F}{{{s_2}}} = \frac{{m \cdot g}}{{{s_2}}} \Rightarrow {D_1} = \frac{{0,100{\rm{kg}} \cdot 10\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{kg}}}}}}{{{\rm{2}}{\rm{,5cm}}}} = 0,40\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{cm}}}}\]
Wird die untere Feder durch die Kraft \(F=1,0{\rm{N}}\) belastet, so wirkt diese Kraft auch auf die obere Feder (genaugenommen wirkt auf die obere Feder noch zusätzlich die Gewichtskraft der unteren Feder, welche aber vernachlässigt werden soll). Für die gesamte Dehnung gilt\[{s_{\rm{S}}} = {s_1} + {s_2} = 5,0{\rm{cm}} + 2,5{\rm{cm}} = 7,5{\rm{cm}}\]Hieraus ergibt sich\[{D_{\rm{S}}} = \frac{F}{{{s_{\rm{S}}}}} \Rightarrow {D_{\rm{S}}} = \frac{{1,0{\rm{N}}}}{{{\rm{7}}{\rm{,5cm}}}} = 0,13\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{cm}}}}\]Allgemein ergibt sich\[{D_{\rm{S}}} = \frac{F}{{{s_{\rm{S}}}}} = \frac{F}{{{s_1} + {s_2}}} = \frac{F}{{\frac{F}{{{D_1}}} + \frac{F}{{{D_2}}}}} = \frac{F}{{\frac{{F \cdot {D_2} + F \cdot {D_1}}}{{{D_1} \cdot {D_2}}}}} = \frac{F}{{\frac{{F \cdot \left( {{D_2} + {D_1}} \right)}}{{{D_1} \cdot {D_2}}}}} = \frac{{F \cdot {D_1} \cdot {D_2}}}{{F \cdot \left( {{D_2} + {D_1}} \right)}} = \frac{{{D_1} \cdot {D_2}}}{{{D_2} + {D_1}}}\]
Zuerst berechnet man die Kräfte, die man bräuchte, um jede Feder einzeln um \(s=7,0{\rm{cm}}\) zu dehnen:\[{F_1} = {D_1} \cdot s = 0,20\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{cm}}}} \cdot 7,0{\rm{cm}} = 1,4{\rm{N}}\]\[{F_2} = {D_2} \cdot s = 0,40\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{cm}}}} \cdot 7,0{\rm{cm}} = 2,8{\rm{N}}\]Zum Dehnen der Parallelschaltung benötigt man die Kraft\[{F_{\rm{P}}} = {F_1} + {F_2} = 1,4{\rm{N}} + 2,8{\rm{N}} = 4,2{\rm{N}}\]Hieraus ergibt sich\[{D_{\rm{P}}} = \frac{{{F_{\rm{P}}}}}{s} \Rightarrow {D_{\rm{P}}} = \frac{{4,2{\rm{N}}}}{{{\rm{7}},{\rm{0cm}}}} = 0,6\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{cm}}}}\]Allgemein ergibt sich\[{D_{\rm{P}}} = \frac{{{F_{\rm{P}}}}}{{s}} = \frac{{{F_1} + {F_2}}}{{s}} = \frac{{{D_1} \cdot s + {D_2} \cdot s}}{{s}} = \frac{{\left( {{D_1} + {D_2}} \right) \cdot s}}{{s}} = {D_1} + {D_2}\]
