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Aufgabe

Extrapolation

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Joachim Herz Stiftung
Abb. 1 Skizze zur Aufgabenstellung

Eine Feder wird durch \(40\rm{cN}\) (\(1\rm{cN}=0,01\rm{N}\)) um \(6,0\rm{cm}\), durch \(80\rm{cN}\) um \(12\rm{cm}\) länger.

a)

Berechne, wie stark die Feder durch \(60\rm{cN}\) bzw. \(5,0\rm{cN}\) verlängert wird.

b)

Berechne das Gewicht eines Körper, der diese Feder um \(7,0\rm{cm}\) verlängert.

c)

Diskutiere, ob wir sicher angeben können, um wie viel sich die Feder durch \(10\rm{N}\) verlängern wird.

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a)

Zuerst bestimmt man die Federkonstante \(D\) durch\[F = D \cdot \Delta x \Leftrightarrow D = \frac{F}{{\Delta x}} \Rightarrow D = \frac{40 \cdot 0{,}01\,\rm{N}}{0{,}06\,\rm{m}} = 6{,}7\,\frac{{\rm{N}}}{{\rm{m}}}\]Nun ergibt sich weiter
\[F = D \cdot \Delta x \Leftrightarrow \Delta x = \frac{F}{D} \Rightarrow \Delta x = \frac{{60 \cdot 0{,}01\,{\rm{N}}}}{{6{,}7\,\frac{{\rm{N}}}{{\rm{m}}}}} = 0{,}09\,{\rm{m}}\]bzw.\[F = D \cdot \Delta x \Leftrightarrow \Delta x = \frac{F}{D} \Rightarrow \Delta x = \frac{{5 \cdot 0{,}01\,{\rm{N}}}}{{6{,}7\,\frac{{\rm{N}}}{{\rm{m}}}}} = 0{,}007\,{\rm{m}}\]

b)

\[{F_{\rm{G}}} = {F_{\rm{F}}} \Leftrightarrow m \cdot g = {\rm{ }}D \cdot \Delta x \Leftrightarrow m = \frac{{D \cdot \Delta x}}{g} \Rightarrow m = \frac{{6{,}7\,\frac{{\rm{N}}}{{\rm{m}}} \cdot 0{,}07\,{\rm{m}}}}{{9{,}81\,\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{kg}}}}}} = 0{,}048\,{\rm{kg}}\]

c)

Wir können nicht sicher angeben, um wie viel sich die Feder durch \(10\rm{N}\) verlängern wird. Die angegebene Feder dehnt sich bereits bei \(0{,}4\,\rm{N}\) um \(6\,\rm{cm}\). Würde man an dieser Feder mit einer Kraft von \(10\,\rm{N}\) ziehen, dann würde sie wohl bereits reißen. Die Näherungen, die sich durch das Gesetz von HOOKE beschreiben lassen, gelten nur für kleine Längenänderungen. Danach ist der Zusammenhang von Längenänderung und Kraft nicht mehr linear.

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Mechanik

Kraft und das Gesetz von HOOKE