Kraft und Bewegungsänderung

Mechanik

Kraft und Bewegungsänderung

  • Warum braucht man im Weltall eigentlich keinen Antrieb?
  • Braucht man für eine Kurvenfahrt ständig Kraft?

Abb. 1
Die Schüler, der in dem nebenstehenden Bild versucht den Bus anzuschieben (zu beschleunigen), hätte bei gleicher Anstrengung (Kraftaufwand) mehr Erfolg (würde eine höhere Beschleunigung erreichen), wenn er nur einen kleinen PKW anschieben würde. Der Grund hierfür ist eindeutig in dem anzuschiebenden Objekt zu suchen. Die Physiker sagen dazu, der Bus hat ein größeres Beharrungsvermögen, eine größere Trägheit als der PKW.

Auch in der nebenstehenden Animation treten zwei unterschiedlich träge Körper auf:
Unter einem Eisenstück aus einem Wägesatz befindet sich ein Styroporklotz und unter diesem ein Blatt Papier.

Wird das Blatt rasch weggezogen, so reicht die Reibungskraft zwischen Papier und Styropor aus, den weniger trägen Styroporklotz zur Seite zu ziehen, so dass dieser seitlich vom Tisch fällt.

Für das wesentlich trägere Eisenstück reicht die Reibungskraft für eine Seitwärtsbewegung nicht aus. Das Eisenstück fällt nahezu lotrecht auf den Tisch.

2 Phänomen der Trägheit von Masse am Beispiel zweier Körper: der Styroporklotz hat eine kleine Masse und ist weniger träge als das Eisenstück mit großer Masse

Die Masse m

Zur Beschreibung der Trägheit dient die physikalische Größe (träge) Masse m.

Die Einheit der Masse ist das Kilogramm. Dazu gibt es eine Reihe von Unter- und Übereinheiten

Massengleichheit: Zwei Körper haben die gleiche Masse, wenn sie durch die gleiche Kraft die gleiche Beschleunigung erfahren.

Massenvielfachheit: Ein Körper A hat die doppelt so große Masse wie ein Körper B, wenn er durch die gleiche Kraft nur halb so stark beschleunigt wird wie der Körper B.

Unter- und Übereinheiten der Masse
Einheit Umrechnung in Kilogramm
Tonne (t) \[1t = 1000kg = 1 \cdot {10^3}kg\]
Gramm (g)  \[1g = \frac{1}{{1000}}kg = 1 \cdot {10^{ - 3}}kg\]
Milligramm (mg) \[1mg = \frac{1}{{1000}}g = \frac{1}{{1000000}}kg = 1 \cdot {10^{ - 6}}kg\]
Mikrogramm (μg) \[1\mu g = \frac{1}{{1000}}mg = \frac{1}{{1000000000}}kg = 1 \cdot {10^{ - 9}}kg\]

Hinweise

Die physikalische Größe Masse ist ortsunabhängig. Hat ein Omnibus auf der Erde die 6-fache Masse eines PKW (d.h. der Bus ist sechsmal so träge wie der PKW), so würde dies z.B. auch auf dem Mond gelten. Auch hier wäre der Bus wesentlich schwerer zu beschleunigen als der PKW.

Klassische Balkenwaage
Abb. 3 Klassische Balkenwaage
Neben der Trägheits-Eigenschaft beschreibt man mit der Größe "Masse" auch die Eigenschaft der Schwere eines Körpers, d.h. die Eigenschaft z.B. auf der Erde eine Gewichtskraft zu besitzen. Es hat sich gezeigt, dass die "schwere Masse" und die "träge Masse" übereinstimmen, daher sprechen wir in Zukunft nur noch von der "Masse". Die schwere Masse eines Körpers lässt sich sehr einfach mit einer Balkenwaage bestimmen, indem man die Masse eines unbekannten Körpers mit einem Massensatz vergleicht.

Unzählige Beispiele aus dem Alltag zeigen dir, dass beim Beschleunigen (und beim Abbremsen) eines Körpers eine enge Beziehung zwischen den drei Größen Kraft, (träger) Masse und Beschleunigung besteht.

Die folgende Animation zeigt das prinzipielle Verhalten von Körpern verschiedener Masse, auf die verschieden "große" Kräfte wirken. Diese verschieden "großen" Kräfte werden durch verschieden stark ausgedehnte Federwaagen, wie du sie aus dem Unterricht der Sekundarstufe I kennst, symbolisiert. Dahinter steckt unser Gefühl, dass eine doppelt so weit ausgedehnte Feder eine doppelt so starke Federkraft ausübt; genau so wie uns unser Gefühl sagt, dass eine doppelt so große Masse eine doppelt so große Gewichtskraft erfährt.

Wir müssen uns aber an dieser Stelle klar werden, dass wir noch keine präzise Definition der Stärke einer Kraft haben: es gibt nirgendwo eine Feder, die wie das Urkilogramm oder das Urmeter die Maßeinheit der Kraft definiert. Die von NEWTON eingeführte Definition der Kraft und ihrer Maßeinheit beruht nun auf unserem Gefühl und dem in der Animation dargestellten Verhalten der verschiedenen Körper und ist gleichzeitig präzise im physikalischen Sinn.

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1 Beschleunigung unterschiedlich großer Massen unter dem Einfluss unterschiedlich großer Kräfte

Erfahrungssätze

  • Die größere Kraft beschleunigt den gleichen Körper stärker.
  • Die gleiche Kraft beschleunigt den leichteren Körper stärker.
  • Die größere Kraft bremst den gleichen Körper stärker.
  • Die gleiche Kraft bremst den leichteren Körper stärker.
Verständnisaufgabe

Formuliere für jedes der Bilder einen Satz von der Art, wie sie die Erfahrungssätze im Kasten sind.

Bild 1:

Volleyball
Volleyball, am Netz, Schmetterschlag

Lösung

Je größer die Kraft ist, welche von der Spielerin auf den Volleyball ausgeübt wird, desto größer ist die Beschleunigung des Volleyballs (er erreicht somit eine höhere Endgeschwindigkeit).

Bild 2

Schwimmen Start
Schwimmwettkampf, die Schwimmer springen vom Startblock

Lösung

Je größer die Kraft ist, mit der sich eine Schwimmerin vom Startblock abdrückt, desto größer ist die auf sie wirkende Beschleunigung. Dies äußert sich in einem weiteren und schnelleren Absprung. Ist die Absprungkraft einer schwereren Schwimmerin genauso groß wie die einer leichten Schwimmerin, so erfährt die leichtere Schwimmerin die größere Beschleunigung.

Bild 3

Crash Test
Auffahrunfall, Unfalltest

Lösung

Je größer die Bremskraft des Autos ist, desto größer ist der Betrag der Bremsbeschleunigung des Autos.

Wenn wir also unserem Gefühl entsprechend der doppelt so weit ausgedehnten Feder eine doppelt so große Kraft zuschreiben, dann zeigt die Animation die Ergebnisse des zugehörigen Experimentes, dass nämlich zum einen
\[a \sim F\;{\rm{,}}\;{\rm{wenn}}\;m\;{\rm{konstant}}\;{\rm{gehalten}}\;{\rm{wird}}\]
und zum anderen
\[a \sim \frac{1}{m}\;{\rm{,}}\;{\rm{wenn}}\;F\;{\rm{konstant}}\;{\rm{gehalten}}\;{\rm{wird}}\]
was zu
\[a \sim F \cdot \frac{1}{m} \quad \rm{b.z.w.} \quad a \sim \frac{F}{m}\]
führt und schließlich zu
\[F \sim a \cdot m\]
umgeformt werden kann. Mit diesem Ergebnis definierte nun NEWTON, was wir unter Kraft zu verstehen haben und gleichzeitig die Einheit der Kraft. Er machte diese Definition so, dass der Proportionalitätsfaktor zwischen \(F\) und \(m \cdot a\) den Wert \(1\) hat.

Definition der Maßeinheit Newton

Kraft ist das Produkt aus Masse und Beschleunigung: \[F = m \cdot a\] Die Einheit der Kraft ist zu Ehren von Isaak NEWTON 1 Newton (\(1\,\rm{N}\)). Eine Kraft hat also den Betrag \(1\,\rm{N}\), wenn sie auf einem Körper der Masse \(m=1\,\rm{kg}\) wirkt und dieser dadurch die Beschleunigung \(a = 1\,\frac{\rm{m}}{{{\rm{s^2}}}}\) erfährt. Aus der Definition der Kraft und den Maßeinheiten von Masse und Beschleunigung ergibt sich so \[\left[ F \right] = \left[ m \right] \cdot \left[ a \right] = 1\,{\rm{kg}} \cdot 1\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} = 1\,{\rm{kg}} \cdot \frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} = 1\,{\rm{N}}\]

Die folgende Animation veranschaulicht diese Definition der Maßeinheit \(1\,\rm{N}\).

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2 Definition des Wertes \(1\,\rm{N}\) als den Betrag der Kraft, die einen Körper der Masse \(1\,\rm{kg}\) mit \(1\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\) beschleunigt

Die sogenannte "Dynamische Kraftmessung" geschieht also in folgenden Schritten:

1.Bestimme die Masse \(m\) des Körpers, auf den die Kraft wirkt (z.B. mit Hilfe einer Balkenwaage).

2.Bestimme die Beschleunigung \(a\), die der Körper durch die Kraft erfährt (z.B. mit Hilfe eines Messwerterfassungssystems oder durch eine Zeit-Ort-Messung der beschleunigten Bewegung).

3.Berechne den Betrag \(F\) der Kraft mit der Formel \(F = m \cdot a\).

In der Praxis verwendet man zum Messen des Betrages einer Kraft allerdings die statische Kraftmessung mit Hilfe einer kalibrierten Federwaage.

Wenn wir mit dem Fahrrad fahren, müssen wir - selbst bei ebener Strecke - in die Pedale treten und Kraft ausüben, um eine konstante Geschwindigkeit aufrecht erhalten zu können.

 

Im Sinne von Aristoteles ist das Fahrradfahren eine "erzwungene Bewegung", ähnlich wie die Fortbewegung eines Ochsenkarrens, der nur fährt, wenn der Ochs mit einer Kraft zieht. Hört die Kraftwirkung auf, so kommt das Fahrrad oder der Ochsenkarren zum Stillstand. Die Thesen des alten Griechen scheinen mit unserer Alltagserfahrung gut überein zu stimmen.

Die Idealisierung des Versuchs mit der rollenden Stahlkugel führt uns zum Verständnis der Aussagen von GALILEI und NEWTON, welche die gleichförmige Bewegung (der Ruhezustand mit v = 0 sei als Sonderfall mit eingeschlossen) im 17. Jahrhundert etwas genauer analysierten. Sie kamen zu einem ganz anderen Ergebnis als ARISTOTELES:


Die gleichförmige Bewegung ist der "Normalzustand" eines Körpers, für den es keinen resultierenden Kraftaufwand bedarf. Dieses Ergebnis wird im 1. Newtonschen Gesetz (Trägheitssatz) formuliert.

Trägheitssatz

Alle Körper sind träge, d.h. ihr Geschwindigkeitsbetrag und ihre Geschwindigkeitsrichtung ändert sich nicht von selbst, sondern nur infolge der Einwirkung anderer Körper.

 

In der berühmten Schrift "Principia" von Newton lautet der Trägheitssatz:

Lex. I.
Corpus omne perseverare in statu suo quiescendi vel movendi uniformiter in directum, nisi quatenus illud a viribus impressis cogitur statum suum mutare. 

1. Gesetz
Jeder Körper beharrt in seinem Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen Bewegung, wenn er nicht durch einwirkende Kräfte gezwungen wird, seinen Zustand zu ändern

In den folgenden Bildern und Animationen sind zwei Situationen aus dem Straßenverkehr dargestellt, die eindrucksvoll die Trägheit von Körpern zeigen:

 
Prinzipielle Darstellung
Der gelbe bzw. rote Körper sitzt nur locker auf dem blauen Fahrzeug
Reale Situation

 

Hinweis: Wie verträgt sich die gleichförmige Fahrt des Ochsenkarrens des ARISTOTELES mit dem Trägheitssatz von NEWTON? Am Ochsenkarren halten sich die gegen die Fahrtrichtung wirkende Reibungskraft und die Zugkraft des Ochsen die Waage. Die resultierende Kraft auf den Ochsenkarren ist somit Null (im Einklang mit dem Trägheitssatz).

Auf den ersten Blick könnte man den Eindruck haben, dass die Aussage von Newton III das Gleiche ist, wie das Kräftegleichgewicht. Zwischen dem Wechselwirkungsprinzip und dem Kräftegleichgewicht besteht jedoch ein wesentlicher Unterschied:

  • Actio und reactio greifen an verschiedenen Körpern an, sie können also nie im Gleichgewicht sein.
  • Kräftegleichgewicht an einem Körper kann bestehen, wenn die resultierende Kraft Null ist.

Hierzu sollte man sich den griffigen Satz (aus Dorn-Bader) merken:

Reactio muss, Gleichgewicht kann sein!

 

Damit Sie ein Gefühl dafür bekommen, wann actio und reactio einerseits und Kräftegleichgewicht andererseits vorliegen, betrachten Sie einige Beispiele:

actio gegengleich reactio

Kräftegleichgewicht


Die Kräfte greifen an verschiedenen Körpern an, können also nicht im Gleichgewicht sein. Aufgrund der wirkenden Kräfte ändert sich der Bewegungszustand der Skater, sie fahren aufeinander zu und
zwar unabhängig davon wer zieht.

Die Kraft des linken Autos und die des rechten Autos greifen an dem Klotz
in der Mitte des Abschleppseiles an. Sie greifen am gleichen Körper an.
Wenn ihre Beträge gleich groß sind, ändert der Klotz seinen Bewegungs-
zustand nicht.

Wie beim Originalversuch von Newton übt nicht nur der Magnet eine
Kraft auf den Nagel aus, sondern umgekehrt auch der Nagel auf den Magneten.

 


An der Hantel greift deren Gewichtskraft an und die Muskelkraft
des Gewichthebers.

 

Beispiel:
Die Hand hält mit der Kraft FHand über eine Schnur eine Federwaage, an der ein Körper hängt. Im linken Bild sind mit jeweils gleicher Farbe die Wechselwirkungskräfte dargestellt. Im rechten Bild sind in jeweils gleicher Farbe diejenigen Kräfte dargestellt, welche im Gleichgewicht sind.

Wechselwirkungskräfte

Gleichgewichtskräfte

 

 

Hinweis: Die reactio zur Handkraft ist nicht eingezeichnet

Das nebenstehend dargestellte Experiment soll schon Newton durchgeführt haben. Es zeigt, dass nicht nur der linke Körper eine Kraft auf den rechten Körper ausübt, sondern auch der rechte Körper auf den linken Körper. Dies gilt auch dann, wenn auf dem rechten Körper der Magnet durch ein Eisenstück ersetzt wird.

Sind die beiden Körper gleich schwer, so treffen sie sich stets in der Mitte. Ist der rechte Körper schwerer als der linke, so treffen sie sich rechts von der Mitte.

Newton formulierte die gewonnene Erkenntnis in seinem dritten Gesetz, das natürlich zu dieser Zeit in Latein formuliert wurde:

Lex III:
Actioni contrariam semper et aequalem esse reactionem, sive corporum duorum actiones in se mutuo semper esse aequales et in partes dirigi.

Wörtliche Übersetzung:
Die Wirkung ist stets der Gegenwirkung entgegengesetzt gleich, oder die Wirkungen zweier Körper aufeinander sind stets gleich und von entgegengesetzter Richtung.

 

Eine Kraft (actio) kann also nach Newton III nie alleine auftreten, sie hat immer eine Gegenkraft (reactio), die an einem anderen Körper angreift.


Beide Personen sitzen auf Wägelchen. Unabhängig davon ob beide ziehen oder
nur einer zieht, sie treffen sich immer an der gleichen Stelle. Der Treffpunkt hängt
auch nicht davon ab, ob anstelle des Seils z.B. eine Gummiband verwendet wird.

Übt der Körper A eine Kraft \({\vec F_A}\) (actio) auf den Körper B aus, so übt B auf A die Gegenkraft \({\vec F_B}\) (reactio) aus. Kurz:

"actio gegengleich reactio"

Es gilt:

\[{\vec F_A} =  - {\vec F_B}\]

 

Das dritte Gesetz von Newton spielt in vielen Bereichen eine wichtige Rolle. Zum Beispiel für die Fortbewegung:

 

Fortbewegung zu Lande:
Die Füße des Sprinters üben auf den Startblock die Kraft Fspr nach hinten aus (actio). Die reactio des Startblocks Fstbl setzt den Läufer in Bewegung.

 

Fortbewegung zu Wasser:
Die Ruderblätter üben eine Kraft auf das Wasser nach hinten aus (actio). Die reactio des Wassers übt über die Ruder eine Kraft auf das Boot aus, welches nach vorne bewegt wird.

 

 

Fortbewegung in der Luft:
Ähnlich wie beim Wasser die Ruderblätter übt hier der Propeller eine Kraft auf die Luft aus (sie wird entgegen der Flugrichtung bewegt). Die Luft ihrerseits übt dann die reactio auf das Flugzeug aus (Vortrieb).

Fortbewegung im Weltraum:
Bei den bisherigen Beispielen war die Fortbewegung möglich, da man sich von "etwas abdrücken" konnte. Dieses "Etwas" fehlt aber im Weltraum, daher muss man es mitbringen.

Bei der Rakete werden die Treibstoffgase durch die actio mit hoher Geschwindigkeit ausgestoßen. Die reactio des Treibstoffs beschleunigt die Rakete in Flugrichtung.

In seiner wichtigen Schrift Philosophiae naturalis Principia mathematica stellt NEWTON seine drei Grundgesetze (Axiome) der Mechanik vor. Wie zu dieser Zeit üblich ist diese Schrift in Latein geschrieben.

Aufgabe

Entnehmen Sie dem Titelblatt der Arbeit von NEWTON das Erscheinungsjahr.

 

 

 

 

 

1. Gesetz von Newton (lex prima): Trägheitsprinzip oder Trägheitsgesetz

2. Gesetz von Newton (lex secunda): Aktionprinzip oder Kraftgesetz

3. Gesetz von Newton (lex tertia): Reaktionsprinzip oder Wechselwirkungsgesetz

 

 

Mit Hilfe des zweiten NEWTON'schen Gesetzes sind wir nun in der Lage, die Bewegung eines Körpers in der Zukunft vorherzusagen. Dazu müssen wir außer dem jetzigen Ort und der jetzigen Geschwindigkeit des Körpers wissen, ...

  • welche Kräfte auf den Körper jetzt und in der Zukunft wirken, in welche Richtung diese Kräfte wirken und wie groß diese Kräfte sind

  • wie groß die Masse des Körpers jetzt und in der Zukunft ist

Kennen wir nämlich alle auf den Körper wirkenden Kräfte, so können wir zuerst einmal vektoriell die resultierende Kraft \(\vec F_{\rm{res}}\) auf den Körper ermitteln:
\[{\vec F_{\rm{res}}} = {\vec F_1} + {\vec F_2} + \,\,.\,\,.\,\,.\]
Nach dem zweiten NEWTON'schen Gesetz können wir dann den Beschleunigungsvektor \(\vec a\) bestimmen:
\[{\vec F_{{\rm{res}}}} = m \cdot \vec a \Leftrightarrow \vec a = \frac{{{{\vec F}_{{\rm{res}}}}}}{m}\]
Dann müssen wir drei Fälle unterscheiden:

1. Fall: Der Beschleunigungsvektors ist konstant der Nullvektor: \(\vec a= \vec 0\)

Ist der Betrag des Beschleunigungsvektors Null, d.h. wird der Körper gar nicht beschleunigt, so bewegt sich der Körper jetzt und in der Zukunft gleichförmig weiter. Wir können somit alle Bewegungsgesetze der gleichförmigen Bewegung nutzen und sowohl den Ort als auch die Geschwindigkeit des Körpers in der Zukunft vorhersagen.

2. Fall: Der Beschleunigungsvektors ist konstant (in Richtung und Betrag), aber nicht Null: \(\vec a= \rm{const.}\)

Ist der Beschleunigungsvektor in Richtung und Betrag konstant, d.h. wird der Körper konstant beschleunigt oder verzögert, so bewegt sich der Körper jetzt und in der Zukunft gleichmäßig beschleunigt weiter. Wir können somit alle Bewegungsgesetze der gleichmäßig beschleunigten Bewegung nutzen und sowohl den Ort als auch die Geschwindigkeit des Körpers vorhersagen.

3. Fall: Der Beschleunigungsvektors ist nicht konstant

Ist der Beschleunigungsvektor nicht konstant, so bewegt sich der Körper (ungleichmäßig) beschleunigt weiter. Dies ist z.B. dann der Fall, wenn die resultierende Kraft und/oder die Masse des Körpers nicht konstant ist. Ein typisches Beispiel hierfür ist der Start einer Rakete: Bei zunehmender Höhe wird die Schwerkraft auf die Rakete immer kleiner und auch die Masse der Rakete wird durch den Treibstoffausstoß immer kleiner. Solche ungleichmäßig beschleunigten Bewegungen sind in seltenen Fällen mit Mitteln der Universitätsmathematik lösbar, allgemein aber alle mit Hilfe des Computers berechenbar. Eine Einführung in die dabei benutzte sogenannte Methode der kleinen Schritte und eine Vorstellung der dabei benutzten Modellbildungs-Software findest du an anderer Stelle auf LEIFIphysik.

Beispiele für die Anwendung der oben besprochenen Strategie

Beispiel 1: Ein Auto fährt mit eingeschaltetem Motor einen Hang hinauf

Wenn wir den Luftwiderstand des Autos vernachlässigen, so wirken während dieser Bewegung im Wesentlichen vier Kräfte auf das Auto:

  • die senkrecht zur Erdoberfläche gerichtete konstante Gewichtskraft \(\color{Blue}{{\vec F}_{\rm{G}}}\)

  • die senkrecht zum Hang schräg nach oben gerichtete konstante Kraft des Bodens \(\color{Cyan}{{\vec F}_{\rm{B}}}\)

  • die entgegen der Bewegungsrichtung gerichtete konstante Reibungskraft \(\color{Magenta}{{\vec F}_{\rm{R}}}\)

  • die in Bewegungsrichtung gerichtete Motorkraft \(\color{Darkgreen}{{\vec F}_{\rm{Motor}}}\)

Durch Vektoraddition erhält man die resultierende Kraft \(\color{Red}{{\vec F}_{\rm{res}}}\), die in diesem Fall \(\vec 0\) beträgt - auf das Auto wirkt also keine resultierende Kraft.

Vernachlässigen wir nun die Verkleinerung der Masse des Autos durch den Verbrauch von Treibstoff, so bleibt die Masse des Autos wieder konstant.

Somit ist der Beschleunigungsvektor \(\vec a= \vec 0\), so dass sich das Auto gleichförmig den Hang hinauf bewegt.

Zahlenbeispiel: \({F_{\rm{G}}} = 10000{\rm{N}}\), \({F_{\rm{B}}} = 7071{\rm{N}}\), \({F_{\rm{R}}} = 2500{\rm{N}}\), \({F_{\rm{Motor}}} = 9517{\rm{N}}\); durch Vektoraddition ergibt sich \({F_{{\rm{res}}}} = 0{\rm{N}}\) und mit \(m = 1000{\rm{kg}}\)
\[a = \frac{{{F_{{\rm{res}}}}}}{m} \Rightarrow a = \frac{{0{\rm{N}}}}{{1000{\rm{kg}}}} =0 \frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\]

Beispiel 2: Ein Auto rollt mit ausgeschaltetem Motor einen Hang hinab

Wenn wir wieder den Luftwiderstand des Autos vernachlässigen, so wirken während dieser Bewegung im Wesentlichen drei Kräfte auf das Auto:

  • die senkrecht zur Erdoberfläche gerichtete konstante Gewichtskraft \(\color{Blue}{{\vec F}_{\rm{G}}}\)

  • die senkrecht zum Hang schräg nach oben gerichtete konstante Kraft des Bodens \(\color{Cyan}{{\vec F}_{\rm{B}}}\)

  • die entgegen der Bewegungsrichtung gerichtete konstante Reibungskraft \(\color{Magenta}{{\vec F}_{\rm{R}}}\)

Durch Vektoraddition erhält man die konstante resultierende Kraft \(\color{Red}{{\vec F}_{\rm{res}}}\), die in Bewegungsrichtung des Autos zeigt.

Da das Auto keinen Treibstoff verbraucht, bleibt die Masse des Autos ebenfalls konstant.

Somit ist der Beschleunigungsvektor \(\vec a\) in Betrag und Richtung konstant in Bewegungsrichtung des Autos, so dass sich das Auto gleichmäßig beschleunigt den Hang hinunter bewegt.

Zahlenbeispiel: \({F_{\rm{G}}} = 10000{\rm{N}}\), \({F_{\rm{B}}} = 8660{\rm{N}}\), \({F_{\rm{R}}} = 2500{\rm{N}}\); durch Vektoraddition ergibt sich \({F_{{\rm{res}}}} = 2500{\rm{N}}\) und mit \(m = 1000{\rm{kg}}\)
\[a = \frac{{{F_{{\rm{res}}}}}}{m} \Rightarrow a = \frac{{2500{\rm{N}}}}{{1000{\rm{kg}}}} = 2,5\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\]

Beispiel 3: Ein Auto rollt mit ausgeschaltetem Motor auf einer ebenen Fläche

Wenn wir wieder den Luftwiderstand des Autos vernachlässigen, so wirken während dieser im Wesentlichen drei Kräfte auf das Auto:

  • die senkrecht zur Erdoberfläche gerichtete konstante Gewichtskraft \(\color{Blue}{{\vec F}_{\rm{G}}}\)

  • die senkrecht zum Boden nach oben gerichtete konstante Kraft des Bodens \(\color{Cyan}{{\vec F}_{\rm{B}}}\)

  • die entgegen der Bewegungsrichtung gerichtete konstante Reibungskraft \(\color{Magenta}{{\vec F}_{\rm{R}}}\)

Durch Vektoraddition erhält man die resultierende Kraft \(\color{Red}{{\vec F}_{\rm{res}}}\), die nun entgegen der Bewegungsrichtung des Autos zeigt. Hinweis: Kraft- und/oder Beschleunigung entgegen der Bewegungsrichtung verdeutlicht man oft durch ein \(-\)-Zeichen vor dem Kraft- und/oder Beschleunigungsbetrag.

Da das Auto wieder keinen Treibstoff verbraucht, bleibt die Masse des Autos ebenfalls konstant.

Somit ist der Beschleunigungsvektor \(\vec a\) in Betrag und Richtung konstant entgegen der Bewegungsrichtung des Autos, so dass sich das Auto gleichmäßig verzögert (gebremst) auf der ebenen Fläche bewegt.

Zahlenbeispiel: \({F_{\rm{G}}} = 10000{\rm{N}}\), \({F_{\rm{B}}} = 10000{\rm{N}}\), \({F_{\rm{R}}} = 2500{\rm{N}}\); durch Vektoraddition ergibt sich \({F_{{\rm{res}}}} = (-)2500{\rm{N}}\) und mit \(m = 1000{\rm{kg}}\)
\[a = \frac{{{F_{{\rm{res}}}}}}{m} \Rightarrow a = \frac{{(-)2500{\rm{N}}}}{{1000{\rm{kg}}}} = (-)2,5\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\]

Auf einem Fahrtisch liegt eine Kugel. Der Fahrtisch wird beschleunigt nach rechts gezogen.

Ein außenstehender Beobachter sieht, dass die Kugel wegen der Trägheit am selben Ort bleibt, während sich der Fahrtisch nach rechts bewegt.

Auf die Kugel wirkt somit keine Kraft.

Ein mitbeschleunigter Beobachter auf dem Fahrtisch sieht die Kugel nach hinten bewegen, während er den Wagen als ruhend ansieht.

Als Ursache für diese Bewegung der Kugel nimmt er eine Kraft an (Trägheitskraft). Eine solche Kraft nennt man eine Scheinkraft, da sie nur in ganz speziellen Bezugssystemen auftritt. Diese Trägheitskraft ist immer entgegen der äußeren Bewegung (die der bewegte Beobachter nicht wahrnimmt), ihr Betrag ist \(m \cdot a\), wenn \(a\) die Beschleunigung des äußeren Systems ist.

Dieses Experiment wird nun leicht abgeändert. Hinter der Kugel wird eine fest mit dem Wagen verbundene Feder angebracht.

Bei der Bewegung des Wagens nach rechts beobachten sowohl der außenstehende als auch der mitbeschleunigte Beobachter eine gleich stark eingedrückte Feder. Die Interpretation dafür ist jedoch unterschiedlich.

Für einen außenstehenden Beobachter bewegt sich die Feder gegen die ruhende und träge Kugel. Die Feder übt mit der Verkürzung eine wachsende Kraft auf die Kugel aus, die Kugel wird nach rechts (relativ zum Raum) mitbeschleunigt. In Wechselwirkung dazu übt die Kugel eine Kraft auf die Feder aus, die Feder wird zusammengeschoben, der mit der Feder verbundene Wagen leicht abgebremst.

Ein mitbeschleunigter Beobachter sieht, dass sich die Kugel gegen die Feder nach links beschleunigt bewegt. Ursache muss eine Kraft auf die Kugel sein (Trägheitskraft), die nach links wirkt und die Feder so weit eindrückt, bis die in Wechselwirkung dazu entstehende Federkraft die Bewegung der Kugel schließlich wieder bis in den Ruhezustand abbremst. Er sieht am ruhenden System Feder-Kugel, dass die Feder zusammengedrückt ist, woraus er auf das Vorhandensein eines Kräftegleichgewichts zwischen der Trägheitskraft und der Federkraft schließen kann.

Insgesamt ist die Beschreibung im beschleunigten System nach Einführung der Trägheitskraft oftmals einfacher als im System des außenstehenden Beobachters.

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