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Versuche

Fahrstuhl (CK-12-Simulation)

Das Ziel der Simulation

Mithilfe der CK12-Simulation 'Fahrstuhl' kannst du untersuchen, warum eine Waage in einem Fahrstuhl nicht immer das korrekte 'Gewicht' anzeigt.

Mithilfe der CK12-Simulation 'Fahrstuhl' kannst du den Zusammenhang zwischen der Beschleunigung des Aufzugs und den wirkenden Kräften im Aufzug genauer untersuchen.

Erklärung der Simulation

Abb. 1 Erläuterung der verschiedenen Funktionen der Simulation
Aufgabe

Wenn du die Simulation startest siehst du in der Mitte zwei Kraftpfeile, die im Schwerpunkt der Person im Aufzug angreifen und die zwei Kräfte beschreiben. Auch die Beträge dieser beiden Kräfte werden angezeigt.

Gib an, um welche Kräfte es sich handelt. Tipp: Verändere die Masse der Person und beobachte Pfeillängen und Kraftbeträge.

Erläutere, wodurch die Kräfte verursacht werden.

Lösung

Der blaue Pfeil beschreibt die Gewichtskraft \({\vec F_{\rm{G}}}\) der Person, also die Anziehungskraft der Erde auf die Person.

Der grüne Pfeil beschreibt die Normalkraft \({\vec F_{\rm{G}}}\) auf die Person, also die Kraft der Waage im Aufzugboden auf die Person. Wie entsteht diese Normalkraft? In der Waage befindet sich eine Druckfeder, die durch eine äußere Kraft (z.B. die Gewichtskraft der Person), die auf die Feder wirkt, zusammengedrückt wird. Nach dem Gesetz von HOOKE übt die Feder dadurch selbst eine entgegengesetzt gerichtete Kraft aus. Die Feder wird so weit zusammengedrückt, bis die äußere Kraft und die Kraft der Feder im Gleichgewicht sind. Diese Kraft der Feder bezeichnen wir hier als Normalkraft.

Hinweis: Die Funktionsweise einer Waage ist wie folgt: In der Waage wird die Strecke, um die die Feder im Gleichgewicht zusammengedrückt wird, gemessen und mit der bekannten Federkonstante \(D\) multipliziert. Das Ergebnis ist der Betrag der äußeren Kraft, die auf die Waage wirkt. Dieser Betrag wird dann noch durch die Erdbeschleunigung \(g\) dividiert und das Ergebnis als Masse angezeigt.

Stelle in der Simulation die Masse auf \(100\,\rm{kg}\) und die Beschleunigung auf 'Hoch'. Drücke auf den Knopf für den 2. Stock (2) und beobachte die Simulation. Drücke dann wieder auf den Knopf für das Erdgeschoss (0) und beobachte wieder die Simulation.

Während der Bewegung der Person erscheint ein dritter roter Kraftpfeil (dieser greift nur aus Gründen der besseren Übersicht nicht im Schwerpunkt der Person an). Auch der 'Betrag' dieser Kraft wird angezeigt.

Gib an, welche Kraft durch den roten Kraftpfeil dargestellt werden soll.

Lösung

Der rote Pfeil beschreibt die resultierende Kraft \({\vec F_{\rm{res}}}\) (in der Simulation als \({F_{\rm{Net}}}\) bezeichnet) aus Gewichtskraft \({\vec F_{\rm{G}}}\) und Normalkraft \({\vec F_{\rm{N}}}\). Es gilt also \({\vec F_{\rm{Res}}}={\vec F_{\rm{N}}}+{\vec F_{\rm{G}}}\).

Aufgabe

Betrag und Richtung der angezeigten resultierende Kraft \(\vec F_{\rm{Net}}\) hängen mit dem jeweiligen Bewegungszustand der Person zusammen.

Vervollständige zur Beschreibung dieses Zusammenhangs die folgende Tabelle.

Tab.1a Zusammenhang zwischen Bewegungszustand und resuktierender Kraft
Bewegungszustand Richtung von \(\vec F_{\rm{Net}}\) Betrag \(F_{\rm{Net}}\)
Ruhe    
    \(0\)
Beschleunigung auf dem Weg nach oben    
  nach unten  
    \(<0\)
Verzögerung auf dem Weg nach unten    

Tipp: Die verschiedenen Bewegungszustände der Person kannst du im Zeit-Geschwindigkeit-Diagramm im rechten oberen Bereich der Simulation erkennen.

Lösung

Tab.1b Zusammenhang zwischen Bewegungszustand und resuktierender Kraft
Bewegungszustand Richtung von \(\vec F_{\rm{Net}}\) Betrag \(F_{\rm{Net}}\)
Ruhe - \(0\)
gleichförmige Bewegung - \(0\)
Beschleunigung auf dem Weg nach oben nach oben \(>0\)
Verzögerung auf dem Weg nach oben nach unten \(<0\)
Beschleunigung auf dem Weg nach unten nach unten \(<0\)
Verzögerung auf dem Weg nach unten nach oben \(>0\)

Ist der Aufzug in Ruhe oder in gleichförmiger Bewegung, dann wirkt keine resultierende Kraft: \({F_{\rm{Net}}}=0\).

Beschleunigt der Aufzug auf dem Weg nach oben oder verzögert er auf dem Weg nach unten, dann wirkt die resultierende Kraft nach oben: \({F_{\rm{Net}}}>0\).

Beschleunigt der Aufzug auf dem Weg nach unten oder verzögert er auf dem Weg oben, dann wirkt die resultierende Kraft nach unten: \({F_{\rm{Net}}}<0\).

Hinweis: Wenn die resultierende Kraft nach unten gerichtet ist, bekommt ihr 'Betrag' ein negatives Vorzeichen. Da die Gewichtskraft auch nach unten gerichtet ist, müsste ihr 'Betrag' eigentlich auch ein negatives Vorzeichen bekommen. Hier hat die Simulation ein Schwäche.

Begründe jeweils mit Hilfe der Axiome von NEWTON die Zusammenhänge zwischen den Bewegungsformen der Person und der jeweils resultierenden Kraft \(\vec F_{\rm{Net}}\).

Lösung

  • Ist die Person in Ruhe oder in gleichförmiger Bewegung, dann wirkt nach dem 1. Axiom von NEWTON keine resultierende Kraft auf die Person.
  • Beschleunigt die Person auf dem Weg nach oben oder verzögert sie auf dem Weg nach unten, dann muss nach dem 2. Axiom von NEWTON eine resultierende Kraft auf sie wirken. Diese Kraft muss jeweils nach oben gerichtet sein, einmal in Bewegungsrichtung zum Beschleunigen und einmal entgegen der Bewegungsrichtung zum Verzögern.
  • Beschleunigt die Person auf dem Weg nach unten oder verzögert sie auf dem Weg nach oben, dann muss wieder nach dem 2. Axiom von NEWTON eine resultierende Kraft auf sie wirken. Diese Kraft muss jeweils nach unten gerichtet sein, einmal in Bewegungsrichtung zum Beschleunigen und einmal entgegen der Bewegungsrichtung zum Verzögern.

Erläutere folgende Aussagen.

  1. Ist die Person in Ruhe oder in gleichförmiger Bewegung, dann ist die Normalkraft betragsmäßig gleich der Gewichtskraft.
  2. Beschleunigt die Person auf dem Weg nach oben oder verzögert sie auf dem Weg nach unten, dann muss die Normalkraft größer als die Gewichtskraft sein.
  3. Beschleunigt die Person auf dem Weg nach unten oder verzögert sie auf dem Weg nach oben, dann muss die Normalkraft kleiner als die Gewichtskraft sein.

Lösung

  1. Ist die Person in Ruhe oder in gleichförmiger Bewegung, dann wirkt nach dem 1. Axiom von NEWTON keine resultierende Kraft. Dies kann nur dann der Fall sein, wenn Gewichtskraft und Normalkraft den gleichen Betrag haben.
  2. Beschleunigt die Person auf dem Weg nach oben oder verzögert sie auf dem Weg nach unten, dann muss nach dem 2. Axiom von NEWTON auf den Aufzug eine  resultierende Kraft nach oben wirken. Da die Gewichtskraft konstant ist kann dies nur die Ursache haben, dass der Betrag der Normalkraft größer als der der Gewichtskraft ist.
  3. Beschleunigt die Person auf dem Weg nach unten oder verzögert sie auf dem Weg nach oben, dann muss nach dem 2. Axiom von NEWTON auf den Aufzug eine  resultierende Kraft nach unten wirken. Da die Gewichtskraft konstant ist kann dies nur die Ursache haben, dass der Betrag der Normalkraft kleiner als der der Gewichtskraft ist.

Hinweis: Im linken oberen Bereich der Simulation ist dies in einem Zeit-Normalkraft-Diagramm zu erkennen.

Erläutere folgende Aussagen:

  1. Ist die Person in Ruhe oder in gleichförmiger Bewegung, dann zeigt die Waage die korrekte Masse der Person an.
  2. Beschleunigt die Person auf dem Weg nach oben oder verzögert sie auf dem Weg nach unten, dann zeigt die Waage eine zu große Masse an.
  3. Beschleunigt die Person auf dem Weg nach unten oder verzögert sie auf dem Weg nach oben, dann zeigt die Waage eine zu kleine Masse an.

Lösung

  1. Ist die Person in Ruhe oder in gleichförmiger Bewegung, dann haben Gewichtskraft und Normalkraft den gleichen Betrag. Da die Waage die Masse über den Betrag der Normalkraft bestimmt, ist die angezeigte Masse korrekt.
  2. Beschleunigt die Person auf dem Weg nach oben oder verzögert sie auf dem Weg nach unten, dann ist der Betrag der Normalkraft größer als der der Gewichtskraft; die Waage zeigt also eine zu große Masse an.
  3. Beschleunigt die Person auf dem Weg nach unten oder verzögert sie auf dem Weg nach oben, dann ist der Betrag der Normalkraft kleiner als der der Gewichtskraft; die Waage zeigt also eine zu kleine Masse an.

Begründe die Aussagen 1-3 der vorherigen Aufgabe rechnerisch.

Lösung

Wie oben gezeigt gilt für die resultierende Kraft \(F_{\rm{Net}}\) der Zusammenhang \(\vec F_{\rm{Net}}= \vec F_{\rm{N}} + \vec F_{\rm{G}}\) oder einfacher mit Vor-/Rechenzeichen beschrieben \(F_{\rm{Net}}=+F_{\rm{N}}-F_{\rm{G}}\).

Nach dem 2. Axiom von NEWTON besteht zwischen der Beschleunigung \(a\), die ein Körper der Masse \(m\) erfährt und der resultierenden Kraft \(F_{\rm{Net}}\), die auf den Körper wirkt, der Zusammenhang \(F_{\rm{Net}} = m \cdot a\).

Damit ergibt sich der Zusammenhang \(m \cdot a = +F_{\rm{N}}-F_{\rm{G}}\). Wir formen die Gleichung nach \(F_{\rm{N}}\) um und erhalten \(F_{\rm{N}}= F_{\rm{G}}+m \cdot a\). Damit ergibt sich

  1. \(a = 0 \Rightarrow {F_{\rm{N}}} = {F_{\rm{G}}} + \underbrace {m \cdot a}_0 = {F_{\rm{G}}}\).
  2. \(a > 0 \Rightarrow {F_{\rm{N}}} = {F_{\rm{G}}} + \underbrace {m \cdot a}_{ > 0} > {F_{\rm{G}}}\).
  3. \(a < 0 \Rightarrow {F_{\rm{N}}} = {F_{\rm{G}}} + \underbrace {m \cdot a}_{ < 0} < {F_{\rm{G}}}\).

 

Abb. 5 Wiegst du weniger in einem herunterfahrenden Fahrstuhl?