Person und Schaukelbrett haben zusammen eine Gewichtskraft von \(F_{\rm{G}}=700\,\rm{N}\). Das Gewicht der Seile werde vernachlässigt. Die Schaukel wird \(\alpha_1=15^\circ\) bzw. \(\alpha_2=30^\circ\) aus der Ruhelage (\(\alpha=0^\circ\)) ausgelenkt.
a)
Zerlege für beide Auslenkungswinkel die Gewichtskraft in eine Komponente \(\vec F_{\rm{f}}\), die in Richtung der Halteseile zieht und in eine dazu senkrechte Komponente \(\vec F_{\rm{r}}\), die den "Pendelkörper" in Richtung der Ruhelage zurücktreibt (rücktreibende Kraft). Vereinfache das Problem, indem du Schaukelbrett und Person zu einem "Massenpunkt" zusammenschmelzen lässt, der an einem Seil hängt.
Vergleiche den Betrag von \(\vec F_{\rm{r}}\) in beiden Fällen.
b)
Gib an, wie die Beträge von \(\vec F_{\rm{r}}\) und \(\vec F_{\rm{f}}\) für den Auslenkwinkel \(\alpha=90^\circ\) wären.
c)
Mache mit dem Ergebnis von Teilaufgabe a) plausibel, dass für kleine Ausschläge die Schwingungsdauer der Schaukel unabhängig vom maximalen Ausschlag (Amplitude) ist.
Abb. 2 Skizze zur Lösung; Schaukelbrett und Person werden auf einen Punkt reduziert
Im linken Bild ist der Betrag der rücktreibenden Kraft ca. \(180\,\rm{N}\), im rechten Bild ca. \(350\,\rm{N}\).
b)
Für \(\alpha=90^\circ\) ist der Betrag der rücktreibenden Kraft \(700\,\rm{N}\) und die Kraft, welche die Seile spannt, verschwindet.
c)
Für kleine Winkel ist die rücktreibende Kraft nahezu proportional zum Auslenkwinkel, d.h. zum doppelten Auslenkwinkel gehört in etwa die doppelte rücktreibende Kraft.
Erfolgt also die Schwingung mit größerer Auslenkung, so ist wohl für eine volle Schwingung mehr Weg zurückzulegen als bei kleiner Auslenkung. Dafür ist aber bei der größeren Auslenkung die rücktreibende Kraft größer, was wiederum zu einer höheren Beschleunigung und Geschwindigkeit der Schaukel führt.
Fazit: Nimmt die Weite \(\alpha\) des Auslenkwinkels nicht zu hohe Werte an, so ist die Schwingungsdauer unabhängig von der Amplitude.
